给妹子的飘飘长发写出态方程

本周有一篇PRL问世，无尽糟点，不吐不快。
猛击这里
文章题目就是
“Shape of a Ponytail and the Statistical Physics of Hair Fiber Bundles”
我们今天组会上讨论这个，我承认我们的组会越来越有娱乐精神了；这篇PRL竟也被Physics Synopsis推荐，这一群物理学家该有多寂寞
在一头钻入建模之前，先来列一些关于头发的数据：
* 每人平均拥有10^5根头发
* 每根头发平发的横截面近似椭圆，主轴直径分布在40到140微米
* 头发的线密度为 6.5 g/km
* 头发的质地可认为各向同性不可压缩，弯曲模量与转动模量与尼龙近似
头发的定型过程不仅仅是重力在起作用，还有自身内在的性质。实验发现，对头发进行清洗晾干，会有一个类似玻璃的相变过程 - 随着湿度降低，头发逐渐固化（废话啦~）
引入头发在单位面积上数量 [;\rho(\boldsymbol{r});]（量纲 [;1/[L]^{2};]），头发的平均切向矢量 [;\boldsymbol{t}(\boldsymbol{r});] (也就是沿发丝方向单位矢量的定域平均，如果在平均发丝间距上，头发走向基本一致，这个物理量有意义)。如果假定一头乌黑顺滑的头发中间没有断茬儿，可以用连续性方程描述(“兰膏坠发红玉春，燕釵拖颈抛盘云”，每次看到连续性方程满眼都是美女的碧云飘飘~)：
[;\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho\boldsymbol{t}\right)=0;]
 
同时定义头发的填充率：[;\phi=\pi\rho d^{2}/4;]，然后写出轴对称的发束的总能量
[;E\left[\rho,t\right]=\int d^{3}\boldsymbol{r}\rho\left[\frac{1}{2}A\kappa^{2}+\text{\ensuremath{\phi}}(\boldsymbol{r})+\left\langle u\right\rangle \right];]
其中 [;\kappa=\left|(\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{t}\right|;] 是曲率场。积分函数的三项在积分后分别对应发丝在平均曲率上的弹性能，重力势能，还有[;\rho\left\langle u\right\rangle;]。最后一项比较有意思，所有相互作用，乱七八糟没法儿解释的都扔给这项，有点儿像密度泛函理论里的交换相关能，这里的计算刚好就使用了定域近似方法，类比密度泛函方法里的LDA。有了总能量，学物理的筒子们当然知道下一步该干啥 - 对了，就是变分原理找最小能量。上面的公式都是按力学给出来的，但是标题是要得到统计物理里的态方程，当然首先要联系上压强。想想一堆头发在一块儿，那些乱七八糟的相互作用，剪不断，理还乱，导致了发丝间的压力，可以从势能推出压强为 [;P(\rho)=\rho^{2}d\left\langle u\right\rangle /d\rho;]。
不过上面方程太复杂了，不容易直接求变分。物理学家眼里当然要大刀阔斧地把复杂性砍掉，最好能有解析解。如果轴对称，可以显式写出连续性方程。这里认为垂下的头发分布在同一高度的截面上处处相同，某处数密度就可以写成 [;n(r,z)=N\left[r/R(z)\right]^{2};] 的形式，重力势能当然是 [;\phi=\lambda gz;]，曲率场展开到二阶，假定发长为 [;L;]，上面的积分可以化为
[;\mathcal{E}=N\int_{0}^{L}ds\left[\frac{1}{2}\tilde{A}R_{ss}^{2}+\frac{1}{2}\tilde{\lambda}g(L-s)R_{s}^{2}+\left\langle u\right\rangle \right];]
 
刚才那个积分是对空间矢量 [;\boldsymbol{r};]，现在是对线元 [;s;]，相当于把一束头发的问题简化到了在由[;\left\langle u\right\rangle;] 导致的径向力场中的一根头发丝儿（物理学家眼中美女的长发？）。现在就很容易做变分了，当 [;\mathcal{E};] 能取最小值时，有以下方程成立：
[;l^{3}R_{ssss}-\left(L-s\right)R_{ss}+R_{s}-\Pi(R)=0;]
其中压强为 [;\Pi(R)=4l^{3}P/A\bar{\rho}R=-(2l^{3}/A)d\left\langle u\right\rangle /dR;]
 
上面那个方程可以叫做姑娘马尾的形状方程，它描述了四个力的合力平衡：弹性回复力，弦张力，重力，径向膨胀力。假设用圆形发卡，发卡半径为 [;R_{c};]，也就是说始端的边界条件 [;R(0)=R_{c};]，如果发卡最外圈头发从发卡处向外发散的角度为 [;\theta_{c};](这个参数对一般人来说为17度)，始端另一个边界条件就是 [;R_{s}(0)=\tan\theta_{c};]。在马尾的最下端，边界条件是 [;R_{ss}(L)=R_{sss}(L)=0;]。在远离发圈的头发底端，可以忽略四阶项 [;R_{ssss};]，然后能近似得到 [;\Pi(R)\simeq R_{s}-(L-s)R_{ss};]。通过和实验数据拟合，可以得到姑娘马尾的态方程（囧）
[;\Pi(R)=\Pi_{0}(1-R/R^{*});]
其中[;\Pi_{0}=0.85;], [;R^{*}=6;]cm。
接下来就是结果分析讨论：无比精确，对比良好，blablabla
看数据果断发现与其说是姑娘的马尾，还不如说是给毛笔建模 - -。因为所有实验用发卡的直径只有半厘米的样子。不过我对此文与妹子长发的关系深信不疑，原因是文章作者的三人里，第二作者竟来自联合利华。。。（小声地说，其实个人更钟意好多年前潘婷广告里的妹子xD）
后来我们的讨论里，大家问如果加上电场相互作用的哈密顿量，也就是头发上带静电会怎么样？ 哈哈哈～
然后我问，可不可以用路径积分来做。。。
老板说，不含时么~
我：要是把z方向坐标改为时间就含时了
然后blabla到了随机微分方程上
明显看出老板彻底对我死心了...