证明Tr(AB)=Tr(BA)

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  楚天舒 管理员 楼主 2009-02-01 07:34:53

  ok

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  楚天舒 管理员 楼主 2009-02-01 07:36:45

  one more,

  L是定义于有限维实内积空间的线性泛函，证明，此泛函必为内积。

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  楚天舒 管理员 楼主 2009-02-01 07:52:19

  用sigma的性质，以element为粒度做是可以的。

  我的办法是把A看作行向量的堆积，把B看作列向量的堆积，也可以做的出来。这里其实用到了两种求矩阵乘积的方法，

  一种是每个元素是行向量和列向量的成绩，即 AB（i，j）=ai*bj

  另外一种是, BA是m个rank one矩阵之和， BA=b1a1+...+bmam 这里b1是列向量，a1是行向量，其乘积是一个rank-one的矩阵。

  这两种观点都是有用的。

  ---

  pf：

  A= [--a1--] [--a2--] [... ] [--am--]

  Here a1,a2,...,am are row vectors.

  B= [| | | | ] [b1 b2 ... bm] [| | ... | ] [| | ... | ]

  Here b1,b2,...,bm are column vectors.

  So Tr(AB)=sigma[<ai,bi>] i = 1...m Tr(BA) = Tr(b1a1+b2a2+...+bmam) [here biai i=1..m is rank-1 matrix] = sigma(Tr(bi*ai)) [linearity of Tr(.)]

  Because Tr(bi*ai)=<ai,bi>

  So

  Tr(BA)=sigma(<ai,bi>) (i = 1...m) = Tr(AB)

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