[9.1 打卡] 绪论: 实数

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  鹿先森 组长 楼主 2021-08-31 08:22:37

  【主要内容】

  通过添加新的数 (无理数），有理数域的范围扩大到实数。 首先回顾有理数域的关键性质：有理数域的序，加减法，乘除法，有理数域的稠密 和阿基米德公理。 然后通过分划的概念定义无理数，并验证有理数性质在实数域成立, 并对幂、对数等做了扩展。 实数相比有理数更完备( 稠密性), 在实数和直线上点成立一一对应关系。

  【重要概念】

  • 戴德金分划：

  对有理数集合的一个拆分 [下组|上组]， 上组中元素总是大于下组。 对于下组无最大数，上组为最小数的分划，我们约定其对应到某一个无理数. 对于上组包括最小数这种分划，我们约定其对应到有理数。有理数和无理数统称实数。 对于实数的相等和序关系，可以转换为分划对应包含关系，从而重新验证有理数性质在实数域成立。

  • 实数域稠密性：

  引理:

  • 任意两个实数之间必然有一个有理数（不仅是实数！).

  • 任意两个实数位于一对差可以任意小的有理数对之间，则这两个实数相等。

  [实数和十进制小数的一一对应（有限，无限循环，无限不循环)]

  • 实数域的连续性（完备性)：

  实数域的任一分划必然对应到一个实数，或者为下组最大数，或者为上组最小数。 如果下组有最大数，则上组没有最小数。

  • 数集的界：

  上有界，上界 $M$ ，上确界 $M^$，下有界，下界 $m$ ，下确界$m^$。 上有界数集必有上确界, 下有界数集必有下确界。 数集不等式 m <= x <= M, 则 m <=inf{x} 和 sup{x} <=M。

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