为什么任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示?

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  原来是这样 2011-04-23 15:55:59

  呃，个人看法，展开不展开的，变换不变换的，跟支撑集的关系比较大。 周期函数和三角函数的支撑集都是整个实轴，于是可以展开。。。

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  [已注销] 2011-04-23 15:58:53

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  [已注销] 2011-04-23 16:01:19

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  SMBH 2011-04-23 16:14:40

  确实是有狄氏条件的，不满足的只能分段展开

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  Log (L'essentiel est invisible) 2011-05-15 23:35:20

  因为在L^2里构成一组正交基. 学了实变你就明白了

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  [已注销] 2011-05-16 11:38:22

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  [已注销] 2011-05-16 11:39:49

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  诡辩 (魔鬼留下的伤痕 都是天使的指纹) 管理员 2011-11-20 00:45:28

  ……

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  [已註銷] 2011-11-20 11:00:26

  我还以为是在说傅立叶...

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  [已注销] 2011-11-20 11:07:11

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  czy 2011-11-22 00:27:55

  2011-05-15 23:35:20 Log (L'essentiel est invisible) 因为在L^2里构成一组正交基. 学了实变你就明白了

  +1

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  垂天烟树 (风轻云淡) 2011-11-22 21:15:23

  理由是：线性系统的任意运动是否普遍的都能由系统的简答振动综合而成，如果可以，函数就可以表示成一个级数和，其系数就是这函数与一已知权函数的乘积的平均值。当权函数是sinx,cosx时，整个求级数平均的过程就是Fourier展开。 详细地证明你去问问Lebesgue Measure。

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  mayakovsky (兔子雷的沙漏眼，灭资兴无) 2011-11-27 23:35:39

  逻辑上应该是由于Stone-Weierstrass定理吧。 一个紧致Hausdorff空间上的一组函数，如果能分离点，那么这组函数通过数乘，加法（有限和），乘法，取共轭后形成的集合是其上连续函数集的稠密子集

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  mayakovsky (兔子雷的沙漏眼，灭资兴无) 2011-11-27 23:38:28

  但是实际上好用的原因大概是因为它和指数函数有关。所以是二阶微分方程边界值问题的解。（归根结底是因为e^x求导以后还是自己）傅里叶当初解微分方程，分离变量得到傅里叶级数。连续化以后就是傅里叶积分。

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  安达卢西亚故人 2011-11-28 15:54:09

  就好像三维空间里的任何一个向量都可以用三个坐标轴上的基向量线性组合来表示。

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  安达卢西亚故人 2011-11-28 15:56:46

  正弦函数，余弦函数，指数函数。。。这些都是“基向量”，除此以外还有很多，特殊函数里还有一大堆各种奇怪的“基向量”。他们都可以表示“周期函数空间”里的任何函数。虽然这样说很不严谨，不过差不多就这意思吧

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  安达卢西亚故人 2011-11-28 16:00:32

  还有个特别的地方是，这些函数都是正交的。也就是说好像直角坐标，球坐标，柱坐标，都是三维空间里的正交坐标系，正交的意思就是他们的基向量都互相垂直。其实三维空间里的任何一个向量也可以用不正交的基向量来表示，来展开，但问题是展开式就不唯一了，而选用正交的基向量来展开，可以保证展开式唯一。这一点的证明可以看看线性代数里的n维向量展开式唯一性的内容就很好理解了。

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