[科普趣文] 数学悖论奇景……

“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。 　　悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。 　　著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留待读者去思索。 1.唐·吉诃德悖论 　　小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 　　一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 　　旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ 2.梵学者的预言 　　一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。 　　苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。 　　学者：我肯定能。 　　苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！ 　　苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说： 　　“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？” 　　“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。 　　3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。” 　　学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。 　　苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。” 3.意想不到的老虎 　　公主要和迈克结婚，国王提出一个条件： 　　“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。” 　　迈克看着这些门，对自己说道： 　　“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。” 　　“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。” 　　按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。 　　迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。 4.钱包游戏 　　史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。” 　　学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。” 　　同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 　　一个游戏怎么会对双方都有利呢？ 5.一块钱哪儿去了？ 　　一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。 　　第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。 　　这一块钱到哪儿去了呢？ 6.惊人的编码 　　外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。 　　赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。” 　　基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！ 　　基塔先生是怎样做到的呢？ 　　基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3－0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011…… 　　基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。 　　基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。” 　　这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！ 7.不可逃遁的点 　　帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。 　　克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？” 　　帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。” 　　克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……” 　　帕特明白了。你明白了吗？ 8.橡皮绳上的蠕虫 　　橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？ 　　乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。 　　如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）： 　　当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。 9.棘手的电灯 　　一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。 　　那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！ 10.数的“金蝉出壳”法 　　数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。 　　通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。 　　现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即： 　　123789+561945+642864 　=242868+323787+761943 　　这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说： 　　123789×123789+561945×561945+642864×642864 　　=242868×242868+323787×323787+761943×761943 　　如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!” 　　且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即： 　　23789+61945+42864=42868+23787+61943 　　23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943 　　事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着： 　　3789+1945+2864=2868+3787+1943 　　3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943 　　现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来： 　　789+945+864=868+787+943 　　789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943 　　89+45+64=68+87+43 　　89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43 　　直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”： 　　9+5+4=8+7+3 　　9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3 　　这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。 　　现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。 　　经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来： 　　12378+56194+64286=24286+32378+76194 　　12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194 　　…… 　　直到最后抹得只剩下个位数时也是如此： 　　1+5+6=2+3+7 　　1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7 　　这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。 11.趣题的讨论 1、“先说第一道。”爸爸说，“有一位女士养了10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?” 　　“未必。”托尼答道。 　　“我认为必定是这样。”查理持不同意见。 　　兄弟俩谁说的对?为什么? 2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生有1只小狗，但最多不到10只小狗。你俩想一想，答案又如何呢?” 　　“必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。”托尼的回答很肯定。 　　“未必是这样。”查理答道。 　　兄弟俩谁说的对?为什么? 3、“有甲、乙两个人在喝茶。”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：‘我敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱至少是你的两倍!’乙听后很不服气，对甲说：‘我也敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱刚好是你的两倍!’” 　　“结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。你们能说出这两个人是都赢了还是都输了呢?” 　　“能说出，显然都输了。”托尼说。 　　“不能说出，也有可能都赢了。”查理说。 　　　　兄弟俩谁说的对?为什么? 4、“昨天，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。”爸爸的新题又开始了，“我数了一下其中一个花园里的花，刚好是50朵。不过这些花只有两种颜色——红的和蓝的。然后我观察到，不论我摘哪两朵花，其中必定有1朵是蓝的。据此，你们能说出红花和蓝花各有多少吗?” “不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。”托尼摇着头说。 　　“完全能说出，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。”查理点着头说。 　　兄弟俩谁说的对?为什么? 5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。”爸爸眯缝着眼，一字一顿地微笑道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是红的。据此就可以类推——不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?” 　　“可以类推。”托尼说。 　　“不能类推。”查理说。 　　兄弟俩谁说的对?为什么?