初高中和小学数学教材的数学结论引出过程可能并不严谨

iMath(我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ)

2017-11-24 10:18:18

通过本文， http://www.cnblogs.com/iMath/p/7889191.html 我想说明：我们小学和初高中的数学学习学到的很多正确的数学结论，很多都欠缺一个严格的证明过程，所以当要再次学习的时候，任何对科学有点追求、想学好数学的人都应该在有需要的时候，去重新补习那些自己需要的之前已经学过的所谓正确结论的论证过程，都应该以更严格更严谨的方式去重新检视、重新认识和论证这些结论的正确性。 大家多多发表意见吧！

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-28 00:10:31

  怎么不严谨了，只是小学不在乎证明而已。就像复杂的四则运算我口算一步到位也不能说我没写中间证 怎么不严谨了，只是小学不在乎证明而已。就像复杂的四则运算我口算一步到位也不能说我没写中间证明就不严谨。你只管结果对不对。 我说下乘法交换律不超出小学知识的证明。首先乘法表证明了10以内的乘法具有交换律，至于乘法表穷举数数就能证明，这个没有必要写出来。然后我们使用了列竖式做乘法的方法，本质上是按位数用分配律再累加，而分配律直接用乘法朴素定义就能得到。形式化语言只不过把这个过程描述一遍而已，本质是描述说明而不是证明，这个过程的正确性不取决于这个过程是否被翻译成那种形式化语言，它本身就是严谨的。 ... 黑暗雨中

  谢谢阁下的回应，从你的回应中我有所收获！ 1 要建立一个结论必须要有严格的证明过程，要否定一个结论只需举个反例即可。我所说的不严谨就是指通过举两个特例就想得出一条具有普遍性的规律的做法，小学和初高中的数学教材里这种现象屡见不鲜。 2 “这个无限不循环小数写出来形式上必然是有限位加省略号，自然可以【对其有限位进行四则运算得到一个形式上的有限位加省略号的近似表示】”这个是需要证明的，不能想当然。我举个也许不恰当的反例：π - π。 3 “自然满（无理数）足有理数运算法则”，这个也是需要证明的

  我又修改了我的文章，有兴趣可以再指教下，谢谢！

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-28 00:57:15

  想法很好，但事实上是不可能做到绝对严密的！因为你在小学数学课本里把所有的数论都讲了，所以的 想法很好，但事实上是不可能做到绝对严密的！因为你在小学数学课本里把所有的数论都讲了，所以的证明都给了，小学生根本无法接受啊，因为实在是太抽象太难了……基于这一点，不给太小的孩子讲数学吗？也不可能……所以讲的含糊一点，不需要太严密，注重结论的正确性，注重intuition，这才是初级数学教学的侧重点。 ... 非线性

  我的文章里有这么一段啊

  “你可能会想：既然小学和初高中的数学教材如此编写，那不是在毁坏我的科学态度和精神吗？确实有点，但是当时可能大多数学生并未留意到这些细节，所以影响可能不大。另外，这些教材之所以这么编写，是有它的道理的，我非编写这些教材的人，但我想其中可能考虑到：（1）一些数学结论的正确性论证需要涉及更高层次的数学知识或太过于繁琐，不是那个阶段的大多数学生能掌握的；（2）有一些学生可能不会升初中或升高中，提前告诉他们这些正确的结论总是有好处的，就好比假设你不知道乘法口诀表为什么正确，但是记住它还是有用处的一样。”

  @超级霹雳无敌帅 是我没写清楚呢还是怎么地，你们都没有看到这段？

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-28 14:16:35

  本质上讲那种细致的定义和证明都属于分析的方法，但是数学不等于数学分析，还有代数（算术可以算 本质上讲那种细致的定义和证明都属于分析的方法，但是数学不等于数学分析，还有代数（算术可以算前代数吧）和数论等，代数方法讲究同态映射，集合总是可以构造，同态映射总是能够定义的，我们学的东西其实都是用描述的方式定义了过程而已，抽象一下就是那种形式化语言使得可以推广到同构的代数结构上去，不抽象出来就不能推广但是不妨碍本身具体使用。事实上中学仅仅是用了根式扩张扩展到代数闭域，四则运算和交换律当然成立，扩张的过程不涉及这些定律，之前能用在有理数域就必然能用在根式扩张之后的域。超越数其实就是一个pi，需要数值时候它就是3.14（初中精度），而形式化时候和x没区别只是个符号。所以说实际上逻辑没有问题。只是在逼近无理数具体数值的时候才需要进入分析，用柯西列定义无理数 ... 黑暗雨中

  1 我主要是讲教材的问题，教材编写原则（https://zhidao.baidu.com/question/457734176.html）中的说道： 数学知识有其自身的规律与特点，而小学生也有其认知的规律与特点。【有些内容在小学阶段是不可能严谨和完全形式化的】，所以，有些知识呈现为“适度的非形式化”是必然的 2 “我们不是算出来3乘以9等于27而是乘法表直接规定了27（这个规定十分合理)……这个过程是被严格规定了的”按照你前面说的乘法的朴素定义可以推导出3乘以9就是等于27，这是一个推导出的结果，就不是你说的是个规定了 3 我文章里举乘法表的例子确实有点不妥，现在被我被我换成【“有理数的运算法则和运算性质适用于实数”为什么正确】这个点了，严格来讲，这是需要证明的。我给你个实数交换律和交换律证明的例子，请看Theorem 1.2.7 https://books.google.com/books?id=sp_Zcb9ot90C&&pg=PA20

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-28 14:18:41

  想法很好，但事实上是不可能做到绝对严密的！因为你在小学数学课本里把所有的数论都讲了，所以的 想法很好，但事实上是不可能做到绝对严密的！因为你在小学数学课本里把所有的数论都讲了，所以的证明都给了，小学生根本无法接受啊，因为实在是太抽象太难了……基于这一点，不给太小的孩子讲数学吗？也不可能……所以讲的含糊一点，不需要太严密，注重结论的正确性，注重intuition，这才是初级数学教学的侧重点。 ... 非线性

  赞同！ 教材编写原则（https://zhidao.baidu.com/question/457734176.html）中的说道： 数学知识有其自身的规律与特点，而小学生也有其认知的规律与特点。【有些内容在小学阶段是不可能严谨和完全形式化的】，所以，有些知识呈现为“适度的非形式化”是必然的

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-29 09:47:01

  可以说这种分析上的初等证明只在历史上第一次有意义，必须被证明，但是现在教材学习已经是被整理 可以说这种分析上的初等证明只在历史上第一次有意义，必须被证明，但是现在教材学习已经是被整理过的，思路不同于第一次发现。科学里有个经典案例，曾经我们要发现水的分子式，证明水分子就是H2O。但是现在已经把水定义成液态的H2O物质，那么根本就不需要证明水的成分了，一定是H2O，大家都用这个定义很方便。也完全不需要证明这个现代定义是否等价过去水的认识，反正我们只研究现代定义的东西。 ... 黑暗雨中

  1 我更倾向于认为乘法表是乘法朴素定义推出来的规律总结。你把很多推断出来的知识点看作是规定或定义，用这种强制规定的方式接受知识我是很大程度上觉得是强制囫囵吞枣啦。附上我觉得有道理的一段话 were we to adopt a large number of axioms, as mentioned above, the question would immediately occur to the student whether some of them could not be proved (a shrewd one would add: or disproved) by means of the rest of them. Since it has been known for many decades that all these additional axioms can be proved, the student should really be allowed to acquaint himself with the proofs at the beginning of his course of study—especially since they are all quite easy. 来自https://books.google.ae/books?id=DvIJBAAAQBAJ&pg=PR7&lpg=PR7 2 估计你和我理解的形式化是不同的意思，我理解的和我上面贴出的小学教材编写原则里的形式化是这个意思 https://en.wikipedia.org/wiki/Formalism_(philosophy_of_mathematics) 按你的意思，如果我理解正确：形式化=感性认识 按数学发展过程来看是先有应用上面的感性认识再到形式化的（也可看我的这条微博https://m.weibo.cn/status/4169680572757164），形式化主要是从19世纪开始发生的，丘成桐说割裂科学史学科学极容易萧规曹随，我很同意！

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-29 15:01:45

  我们首先学的是代数，一定要先从代数观点看初等数学，之后定义了极限再以分析观点看，并不是分析 我们首先学的是代数，一定要先从代数观点看初等数学，之后定义了极限再以分析观点看，并不是分析上的严谨才是严谨，代数的严谨同样是严谨，代数上要注意的是同态关系，严格区分等号用于同构的场合还是全同的场合 ... 黑暗雨中

  我的核心观念还是：注重理解和是否严谨。当然各阶段学生的认知能力和教学目的都有所侧重啦

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-11-29 20:38:12

  數學教育如何取捨,除了嚴謹,還有是否可以用直觀的方式引入一系列的概念.這方面很重要,比起直接省 數學教育如何取捨,除了嚴謹,還有是否可以用直觀的方式引入一系列的概念.這方面很重要,比起直接省略掉嚴密的論證過程,這樣降低難度,用直觀方式導入新概念才更高明. 不妨看下 數學是什麼 這部名著是如何引入各種概念的. ... 往生投資

  我看过这本书的一部分，确实是高水准大师的数学解说方式，深入浅出

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-12-07 12:35:01

  因为基础教育讲的是让学生从生活和观测出发去认知一个东西，比如定义会常用形如什么的东西是某某 因为基础教育讲的是让学生从生活和观测出发去认知一个东西，比如定义会常用形如什么的东西是某某某，但是他们又强调不能提到定义这样硬性的死板的词汇。强调让学生根据自身已有经验去认知自发总结，不画条条框框，不是讲普遍规律告诉他们。按照每个人的知识经验发展本来就是不严谨的 ... 一袍风

  很有见地的回复，谢谢

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  iMath (我讲高数http://t.cn/RN7oRuZ) 楼主 2017-12-19 13:43:47

  高观点下的初等数学？ 高观点下的初等数学？ H ™

  没那么高 ，应该说是从大学数学学习的角度来审视初高中数学

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