经典算法系（7）-动态规划（Dynamic Programming）

8. 动态规划（Dynamic Programming）
 DP主要用于解决包含重叠子问题（Overlapping Subproblems）的最优化问题，其基本策略是将原问题分解为相似的子问题，通过求解并保存最简单子问题的解，然后逐步合并成为原问题的解，由于需要查询子问题的解，所以需要一个表格记录子问题的解；DP仅适用于最优子结构问题（Optimal Substructure），也就是局部最优解相当于（或者近似于）全局最优解；
 对于原问题而言，当递归地自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题可能与之前差生的子问题重复（如Fibonacci数列的求解）；DP通过自底向上求解子问题的解并将其保存在一个表格中，当再次遇到相同子问题时就直接通过查表得到其解（分治算法的子问题则是完全独立子空间）；使用DP之前需要判定当前问题是否具有下述三个特性：
 最优子结构：无论之前的状态和决策如何，当前的局部最优解是构成全局最优解的必要条件
 无后效性：对于某个给定的阶段状态而言，在此之前的所有决策和状态都无法直接影响未来的决策，而只能通过当前的决策和状态影响
 空间需求度：DP实际上是一种空间换时间的策略，在求解的过程中需要不断存储子问题的解并提供合理的查询方式
 DP的四个步骤
 划分阶段：注意划分之后的阶段必须是有序或者可排序的
 确定状态和状态变量：将划分后的子问题使用不同状态表示，并满足无后效性
 确定决策并写出状态转移方程：根据相邻两个阶段的状态关系得出转移方程
 寻找边界条件：给出的转移方程是一个递归式，需要最终确定一个终止条件
 最长公共子序列的DP解法
 LCS问题与LIS（Largest Incremental Sub-sequence）问题类似，将原字符串A进行排序之后得到B，则A的LIS就是A和B的LCS。另外也可以直接使用DP。
 解法1：Largest Common Sub-string，如果将需求理解为公共子串的字符必须相连，则解法如下：将字符串A的每一个字符依次匹配B的每一个位置，时间复杂度O(MN)，M和N分别为A和B的长度，同样也可以使用DP填表的方式求解。KMP算法也可以求解，时间复杂度为O(M+N)
 解法2：Largest Common Sub-Sequence，如果将需求理解为公共子串的字符可以分离，则为经典的LCS问题（也可以理解为求两个集合的顺序交集），则解法如下：动态规划（DP），动态规划一般应用于具有最优子结构的问题，也就是局部最优解可以决定全局最优解；动态规划的关键点在问题的拆分和状态关系的转移；
给定first[1,m]和second[1,n]，求LCS(first[1,m],second[1,n])，
如果first和second的最后一个字符相同，则有first[m]=second[n]=result[k]，这样问题化解为给定first[1,m-1]和second[1,n-1]，求LCS(first[1,m-1],second[1,n-1])，原问题转化为LCS(first[1,m],second[1,n])= LCS(first[1,m-1],second[1,n-1]) +1
如果first和second的最后一个字符不相同，则问题化解为result[1,k]= max{LCS(first[1,m-1],second[1,n]), LCS(first[1,m],second[1,n-1])
/**
 * 利用动态规划，使用簿记matrix的方法记录小子问题，然后重复利用
 * 小子问题解决合成问题，最终解决整个问题。
 * 在first和second组成的二维表中，一共有三种状态转移方式：
 * 如果first[m]=second[n]，则跳到first[m-1]和second[n-1]
 * 如果first[m]!=second[n]，则跳到first[m-1]和second[n]，
 * first[m]和second[n-1]的LCS中较大的一个
 * 需要设定初始状态为0
 * */
void lcs2(char *first, int lfirst, char *second, int lsecond) {
 int *dir=new int[lfirst*lsecond];
 int *dis=new int[lfirst*lsecond];
 /**
  * 保留first和second的第一个字符，将其dis设置为0，便于实现簿记
  * dir矩阵中：0表示up-left移动；1表示left移动;2表示up移动
  * */
 for(int i=0;i<lfirst;i++)
  dis[i]=0;
 for(int i=0;i<lsecond;i++)
  dis[i*lfirst]=0;
 for(int j=1;j<lsecond;j++) {
  for(int i=1;i<lfirst;i++) {
   if(first[i]==second[j]) {
    /**
     * 如果当前字符相等，则说明[i,j]长度的LCS为
     * [i-1,j-1]长度的LCS 加上1；
     * up-left移动
     * */
    dis[i+j*lfirst]=
      dis[(i-1)+(j-1)*lfirst]+1;
    dir[i+j*lfirst]=0;
   } else if(dis[i+(j-1)*lfirst] >
      dis[(i-1)+j*lfirst]) {
    /**
     * 如果当前字符不等，并且[i,j-1]长度的LCS大于
     * [i-1,j]长度的LCS，则当前[i,j]长度的LCS等于
     * [i,j-1]产度的LCS
     * up移动
     * */
    dis[i+j*lfirst]=
      dis[i+(j-1)*lfirst];
    dir[i+j*lfirst]=2;
   } else {
    /**
     * 如果当前字符不等，并且[i-1,j]长度的LCS大于
     * [i,j-1]长度的LCS，则当前[i,j]长度的LCS等于
     * [i-1,j]产度的LCS
     * left移动
     * */
    dis[i+j*lfirst]=
       dis[(i-1)+j*lfirst];
    dir[i+j*lfirst]=1;
   }
  }
 }
 showLCS(first, dir, lfirst-1, lsecond-1, lfirst);
 delete [] dir;
 delete [] dis;
}
 背包问题的DP解法
 参考连接：
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482
http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming
http://blog.csdn.net/sharpdew/article/details/763180