编织世界的精灵--浅谈拓扑弦论(1) 神秘的拓扑数

第一章：神秘的拓扑数
第一节: 欧拉数
金庸的《倚天屠龙记》中有一段关于张无忌学太极拳的描述。 说的是张三丰教张无忌太极拳， 张无忌跟着演练了几次就像模像样了。 张三丰问他：无忌， 你还记得多少？ 无忌回答：记得八成。 过一段时间后张三丰又问：无忌，还记得多少？ 张无忌说：还记得五成。 到最后再问的时候， 张无忌回答说：我已经全忘了。 于是练成不世神功太极拳。讲的是一个道理：大道浑然天成，不拘泥于招式。正所谓：无招胜有招。 可是对于见识浅陋的人来讲， 这无招岂不是变成了泼皮打架，全无章法？ 可见天才与凡人之间还是有着数量级的差距的。 其实这个故事有另一个江湖的版本， 就是数学领域中拓扑学的建立过程。诸君可能要问：数学怎么成了江湖？ 那数学家们岂不是都是江湖侠客或者盗匪？ 其实数学领域的确最像江湖， 各种惊才绝艳的人物统领这个江湖。 各种各样的理论分支就和各大小门派一样。 一般是祖师爷创下内功心法， 门徒们苦思招式， 最后成就一个门派。 这里要说的是拓扑学这个超级大派的建立的过程。数学的两个超级宗门是代数和几何，天下门派，无不源流于这两个超级宗门。200多年前， 数学家们孜孜以求的几何学和欧几里德的几何学没有太大的差别。 他们的想法朴素而实用， 就是通过长度，方向，连续这些基本的几何概念去构造抽象的几何世界。 当时的几何学， 还是以精确为主导方向。 譬如剑法， 求的是快和准。 这时候， 莱布尼兹提出， 如果我们抛弃长度和方向， 仅仅考虑连续的话， 对应的几何学是什么样的呢？ 这个问题等于说是， 我们抛弃快和准，怎么去练剑法？ 此论一出，几何学各大门派长老均不以为然。 莱布尼兹见大家毫无兴致， 于是搁置不谈。直到另一位天才横溢的宗师级的人物出场， 才重新捡起了这个被当时嘲笑为“橡皮泥的几何学”的东西。 他名叫欧拉。欧拉最先意识到这样的几何学会有很深远的影响。 虽然欧拉并没有写下拓扑学的内功心法。但他创出了一招， 这一招包含的深刻含义直到100多年后才被嘉当悟透。难以想象，失去了精确性的几何学会有什么样的用途。 这样没有速度和准度的剑法能够应用到实际中么？ 事实证明，这个几何学大巧不工，气势磅礴， 其影响遍及现代几何学的各个分支。而200年前，欧拉就已经洞察到了它的优美和力量，只因为他领悟了忘记长度和方向才能找到这种几何的根源。欧拉创出的第一个伟大的招式是：欧拉示性公式。 后来另一位和他并称一时瑜亮的几何大宗师高斯， 把这个公式推广到了连续一般情形。 但一直没有公开，准备当成内功秘籍传给弟子们。 几年后，另一个数学家博内同样做了这样的推广，得到了和高斯一样的公式。 史称：高斯-博内公式。至此，拓扑学这个几何学下的超级大派走上了舞台， 并且成为数学领域的几大霸主之一。我们现在先回到欧拉的出发点， 去探寻那个“倚天一出，谁与争锋”的波澜壮阔的历史。
欧拉示性公式是非常优美简洁的公式, 这延续了欧拉的工作的特征, 他的公式总是简单到了极致,而又深刻到了极致. 欧拉数是第一个神秘的拓扑数， 它的出现对于整个拓扑学有着无比深远的影响。这个公式非常简单：对于任意的一个凸多面体，它的顶点数为V， 棱数为E， 面的个数为F， 那么其必然有如下等式：V+F-E=2. 也就是说， 顶点数和面数之和比棱数多2。 这需要非常细致的洞察力才能看到这样的关系。 2这个数字, 是第一个拓扑数, 它标记拓扑等价于球面的几何体. 所谓拓扑等价, 就是指的是如果两个几何体可以通过连续的拉伸,扭曲,旋转等等操作变到对方, 这些操作不能是粘合, 撕裂, 那么这两个几何体称作是拓扑等价的. 这样的一个拓扑数, 现在被称作是欧拉数. 对于2维的几何体, 欧拉数是分类其整体性质的最重要的拓扑不变量. 对于这个公式的证明, 有很多种方法. 其中最有趣的证明办法是类似于"挑火柴棒"的游戏, 游戏规则是: 将一堆火柴棒散放在桌面上, 它们会重叠起来. 然后用另一根火柴去挑动, 要求挑出一根火柴, 且不能让除了这根火柴的其他部分有任何移动, 挑出一根后继续挑下一根, 如果失败,则交由对方继续挑, 最后计算谁得到的火柴棒数目多为胜. 我们来玩一下这个游戏的欧拉数版本. 先将多面体中的一个面煎下来, 这显然是一个多边形, 它的欧拉数为1. 剩下的部分我们将它拉伸后铺平放在平面上. 然后通过连接顶点的办法将它变成很多个三角形, 而且这些三角形的任意边不能在多面体的任何一个面内相交. 这样我们就得到了一个三角形堆砌的平面. 注意这样做不会改变顶点的个数, 只会增加棱数和面数. 但简单的分析就可以知道. 增加的棱数和面数是一样多的. 所以这个操作是保持剩余部分的欧拉数的. 实际上,这个操作在拓扑学中是剖分. 以后我们还会碰到这样的操作. 做完剖分之后, 我们先去掉最外面的一条边. 注意, 这样做同时也去掉了一个面. 因而也是保持欧拉数不变的操作. 然后, 观察剩下的图, 如果我们发现有三角形的两条边都是最外面的边, 那么我们去掉这个三角形的外顶点和相应的两条边(注意,同时我们也去掉了一个面), 这样的操作依然是保持欧拉数的. 持续这样的操作, 我们最终会得到一个三角形. 而三角形的欧拉数是1. 因此整个多面体的欧拉数是2. 我在这里强调了很多次保持欧拉数不变的操作. 这实际上是很重要的一个条件. 在一百年后, 嘉当发展同调论的时候, 就是用的这个想法. 而这种证明, 正是最简单的下同调方案. 整个代数拓扑领域, 就是通过这样的游戏规则建立起来的. 微分几何中很多特征类, 比如欧拉类, 陈类, 彭齐亚金类, 托德类等等, 都是这种思想推广而来的, 只不过那时候考虑的是更高维的拓扑不变量.
知道了凸多面体的欧拉数, 我们可以雄心勃勃的去考虑更特殊的多面体了. 考虑一个中间穿孔的多面体. 如果不考虑 它的边边角角, 它很像一个面包圈或者是轮胎. 对这样的多面体, 我们当然也可以用同样的办法去找它的欧拉数. 只不过, 我们要想一个办法把它铺平到平面上. 为此，我们先考察轮胎如何展平到平面上. 方法很简单, 只要沿图1所示的两个方向用剪刀剪开, 我们就可以得到一个矩形图.
                
                 然后我们就可以继续做三角形剖分了. 将原来不管的那些边角都还原回来, 然后同样将所有的多边形划分为不相交的三角形. 然后开始保持欧拉数的"挑火柴棒"游戏. 这时候要加入一个新的规则, 凡是从上面做一个操作的时候, 在下面对称的地方也作相同的操作, 从左边作一个操作, 则右边同样也要做相同的操作. 这可以看成是一种镜像对称性. 这样做完之后, 我们会发现, 没有任何东西会留下来. 这需要一点对称的思想来说明. 通过这样的操作到最后, 无非会出现, 剩下一个三角形和什么都不剩下这两种情况. 由于上下左右都是对称的, 这样的三角形一定会破坏这样的对称性. 因此只能什么都不剩下. 这说明, 穿孔多面体的欧拉数为0.
这样穷举的办法其实就可以很简单的推广到有多个穿孔的多面体的情形.
                
                  比如对于像双环面的多面体, 它的欧拉数是-2. 这可以将它从中间分开变成两个咬了一口的面包圈来看出, 每一个面包圈都带欧拉数为-1, 原因是被咬掉部分是一个多边形, 而多边形的欧拉数为1, 要保证面包圈的欧拉数为0, 剩下部分的欧拉数只能是-1. 数学上对于这种多个穿孔的多面体的拓扑称为多亏格的2维黎曼面.(亏格这种生僻的词用在这里是中国数学家掉书袋的结果, 作者本人强烈鄙视这种翻译, 但无奈也只能应用这些拗口的术语.) 因此, 对于二维的几何, 我们可以用欧拉数来分类. 一般的带g个亏格且上面有h个洞(想象被咬了h口的东西)的黎曼面$M_{g,h}$的欧拉数为: $\chi(M_{g,h}) = 2-2g-h$. 这里说的黎曼面完全就是一个术语称呼, 跟我们上面说的那些轮胎,球形是一回事, 只不过这些轮胎,球形可以扭曲变形. 只要不粘合剪开, 我们认为随便怎么变, 球还是球, 轮胎还是轮胎. 这正所谓万变不离其宗也.