大学里要读的数学书目录

诡辩

来自: 诡辩(魔鬼留下的伤痕 都是天使的指纹) 组长
2006-07-06 08:13:01

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  • 花斑鱼

    花斑鱼 2006-07-10 15:05:32

    好象在未名bbs数学搬上看到过一篇一样的文章

  • pz0

    pz0 (突然发觉我是岸西的粉丝) 2006-09-18 06:39:19

    这是哪儿的bbs阿。。。 这人挺牛啊。

  • 诡辩

    诡辩 (魔鬼留下的伤痕 都是天使的指纹) 组长 楼主 2006-09-21 12:39:14

    最先是复旦的基地一个哥哥写的 据说现在在Maryland读博士

  • sparkler

    sparkler (天天100华氏度) 2006-09-26 18:00:10

    牛人啊,知道这么多书

  • 小盘鸡

    小盘鸡 2006-09-29 00:13:19

    好多俄国人的书

  • 方方

    方方 2006-11-05 18:17:33

    耐着性子浏览^^^^^ 推荐个里面没有的<数学--它的内容方法和意义>也是前苏联的 非常经典的书.

  • 豆瓣用户第239801号~禄来

    豆瓣用户第239801号~禄来 2006-12-08 17:47:49

    大学?大学都快过完了,lz推荐的书知道的还不到一半......

  • 二十投

    二十投 2006-12-08 18:18:09

    哦,是大学里!看样子是包括研究生阶段。吓死我了,我还以为只是本科阶段呢。

  • 诡辩

    诡辩 (魔鬼留下的伤痕 都是天使的指纹) 组长 楼主 2006-12-09 17:18:31

    作者是一个本科生 所以应该是本科生要读的!

  • 影子小幽

    影子小幽 (画地为牢,刑满释放。) 2006-12-25 17:57:45

    最近看了本叫《搜主义》的书,说goole的两个创始人都是学数学的。还有看《死亡笔记》时,L也是用数学推理出杀人者是大学生的。大学里,老师也总是讲数学很神奇,可是我本人还是没有摸出门道,觉得所学的和现实完全脱节了,很可惜。

  • hoxide

    hoxide 2006-12-30 23:04:56

    全看完太不现实, 很多书只能说是翻翻, 其实有时候吃透一本书书就够了, 个人感觉.

  • 豆友1044431

    豆友1044431 2007-02-14 00:51:55

    [内容不可见]

  • lao1000

    lao1000 2007-02-14 14:01:40

    真有人看完过啊?太强了

  • Nunc Dimittis

    Nunc Dimittis (至末,未了。) 2007-02-28 12:08:18

    2006-12-25 17:57:45: 影子小幽 (天津)    最近看了本叫《搜主义》的书,说goole的两个创始人都是学数学的。还有看《死亡笔记》时,L也是用数学推理出杀人者是大学生的。大学里,老师也总是讲数学很神奇,可是我本人还是没有摸出门道,觉得所学的和现实完全脱节了,很可惜。 ~~~~~~~~~~ 在我看来《Death Note》中的所谓“推理”跟数学一点关系都没有。

  • [已注销]

    [已注销] 2007-02-28 16:14:05

    [内容不可见]

  • tyskin汩余不及

    tyskin汩余不及 (渐行渐远渐无书) 2007-03-20 10:34:12

    这两年新出版的书里也不乏经典的,大家可以留心下,毕竟想把所有的书都读完也是有难度的

  • 花音妙

    花音妙 (紫微圣人花音妙) 2007-03-20 21:26:59

    大学毕业了 有得忙了 飒飒 ~

  • 大树

    大树 (大树我就是个少林寺里穷扫地的) 2008-04-19 19:41:59

    请问,对非数学专业的,那套苏联编的《高等数学教程》,5卷本的,是否就够用了?

  • 大树

    大树 (大树我就是个少林寺里穷扫地的) 2008-04-25 13:28:05

    还有几个疑问: 1. 主帖中没有提到某些方向的内容: 比如概率论(广义上的随机数学,包括统计, 随机过程,时间序列分析什么的...),运筹学,规划论,集合论,测度论,数论都没有提到, 不知道是为什么? 2.对非数学专业的同学来说,主帖所说的从广度和深度都可能是不匹配的,各位慎重为好.

  • [已注销]

    [已注销] 2008-04-27 21:34:08

    [内容不可见]

  • Jason_Xu

    Jason_Xu (清凉的夏) 2008-05-03 14:42:08

    哇 好多!趁着有时间要多看一下~~~~

  • 已注销

    已注销 2008-05-24 22:25:21

    强~~

  • antares

    antares (清厉而静,和润而远) 2008-05-25 22:26:03

    唔~好多~看样子剩下的2年得好好努力…… 其实我还是好想哭……5555555555555555555555

  • [已注销]

    [已注销] 2008-06-01 12:35:48

    [内容不可见]

  • juvenn

    juvenn (hacking) 2008-06-23 22:55:34

    So long, 没有看完。不过还是想推荐一下Rudin的那本原理,卓越有英文版的卖。有机会还想看看他写的complex analysis和functional analysis,比较适应他的构思以及对数学的理解。

  • Facade

    Facade 2008-07-01 00:14:15

    这个书目网上都转滥了,实话说,快速入门还是用中国人写的书,是快速入门,然后转E文,攻经典,达到看论文不头晕的境界。。。

  • 已注销

    已注销 (社会主义好 欢度国庆节) 2008-07-08 19:13:19

    :)

  • [已注销]

    [已注销] 2008-08-24 00:24:07

    [内容不可见]

  • scarez

    scarez 2008-09-11 05:06:36

    对于大多数人,没必要看那么多,也不大可能。。。

  • 壶碟会上探花郎

    壶碟会上探花郎 (……) 2008-09-11 17:16:33

    大学里要读的书太多了,都给数学很不划算

  • wang2

    wang2 2008-10-11 18:29:30

    做个加法乘法的, 这些书多久能扫一遍, 多少能细读.

  • Shawn

    Shawn 2008-11-08 20:45:33

    分析:菲赫的微积分,Rudin的数分,Conway的复变,Roydan和Hewitt的实分析与泛函 代数:北大版的高代+Rotman的抽代,继续可看Hungerford和Jacobson,参考Lang 其他数论,离散数学,拓扑和几何各选一本就差不多了。本科最重要还是计算能力,其次是理解高等观点,感受一些大的思想。

  • 三  花

    三 花 (思 行 合) 2008-11-08 20:47:21

    我觉得应该从形而下开始有取舍的读。。否则书是读不完滴

  • newone

    newone (认真是美德) 2008-11-08 22:25:33

    我不相信有这个必要 这些书认真读的话一个月一本差不多,读四年都读不完 除非他马马忽忽得读

  • Shawn

    Shawn 2008-11-11 02:08:36

    俺的单子书很少啊,12本够了,平均1年3本,勤奋一点没问题的

  • scarez

    scarez 2008-12-14 04:55:17

    大牛,传说中一年看2000页专著,一般牛,可能看的比上面都多,至于吾辈嘛。。。

  • Log

    Log (L'essentiel est invisible) 2010-01-07 22:19:48

    该牛人是IMO金牌, 复旦读的本科, 在法国(我记得是跟connes)读的博士, 现在在我们学校做博士后, 方向是非交换几何.

  • tyskin汩余不及

    tyskin汩余不及 (渐行渐远渐无书) 2010-01-07 22:35:25

    本科最后一年了,回头来看,这个书单也没有当初想的那么漫长,对刻苦的学生,真心读数学的话,读二分之一是完全可行的,即使每个例题都check,还有余力学更多东西,国内本科的分析很多,代数相比就差一点,初等数论大概可以自学,再继续就是没底的东西了

  • Snow

    Snow (what's your function in life?) 2010-01-07 23:06:18

    好多阿

  • [已注销]

    [已注销] 2010-01-09 11:56:28

    [内容不可见]

  • 逸小天

    逸小天 2010-01-09 12:03:20

    太专业了。。。学计算机的有人能写出这样一个书目吗?

  • caishen168

    caishen168 (哲学算帐,数学织网,物理打渔) 2010-01-09 12:17:10

    书不在多,关键是悟性

  • 楚天舒

    楚天舒 2010-01-09 12:29:08

    复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好, 似乎丘成桐先生做学生的时候 也曾收益与此. === 丘成桐据说也吃过内地的大米饭。 高兴伐?

  • Ginderella

    Ginderella (少则明,多则惑) 2010-01-22 19:09:55

    都是好书…… 都是经典…… 浩如烟海啊

  • 未及

    未及 2010-01-22 21:02:47

    这么俄罗斯的书,可能是因为中国过去有几十年的时间只能到苏联留学,欧美国家去不了。

  • ender_shan

    ender_shan (As you move on, remember me.) 2010-01-22 22:35:06

    这么俄罗斯的书,可能是因为中国过去有几十年的时间只能到苏联留学,欧美国家去不了。 ---------------------------------- 个人觉得很多时候俄罗斯的书要比欧美的扎实~

  • 未及

    未及 2010-01-22 22:55:40

    我很好奇,同样是专制国家,为什么苏联除了那么多科学成就,而中国却那么少呢。 关于楼上所说的扎实,可能是专家与学者的区别。学者往往没有专家那么追求精深,学者更看重思想。

  • 压扁的轮胎

    压扁的轮胎 (就不告诉你) 2010-01-23 10:52:14

    看完全部就圣人了------不过要小小抗议一下,国内实在太重分析轻代数了,书单一堆俄国分析教材,话说美国是完全反过来的。

  • 未及

    未及 2010-01-23 11:14:29

    考虑一下信息技术所用到的数学知识就明白,为什么俄罗斯在信息时代落后美国那么远了。 、应该根据科学发展的趋势来选择数学研究的重点,当学生的也应该如此。

  • 野鹤鹤

    野鹤鹤 (立志当江南财子。) 2010-01-23 13:46:19

    又长又臭,本来豆瓣的排版就不好,还一句分行的,一点阅读兴趣都米有

  • winner

    winner (好人常做夢,壞人實踐夢) 2010-01-24 01:45:07

    说实话,先把高中的数学打好基础 看看微积分 再看下线代 就够了 学多了,头大

  • Dave_Yang

    Dave_Yang (不要输给他们) 2010-02-01 18:44:54

    物理系的看个1/10就够了

  • 渐远渐H

    渐远渐H (为天雷滚滚的人生奋斗...) 2010-02-06 02:47:38

    我可以膜拜一下楼主吗?

  • Log

    Log (L'essentiel est invisible) 2010-02-16 05:25:59

    俄罗斯的数学在50-80年代是全世界最强的, 有kolmogorov和一堆牛人在. 之所以发展得好也跟政策有关, 政府养了好多数学家, 而且收入相比普通人是要高十几倍的, 据我导师讲只要房子够大, 家里都会养佣人的. 这样的条件很诱人, 也解放了数学家为生计和琐事的负担. 另: 做该书单的牛人要回复旦当老师了, 暂时连副教授都还不是. 国内这样的环境, 真是很难出大师. 待遇好的地方不是没有, 但学术环境跟这些好学校没法比.

  • Light

    Light (心如止水) 2010-04-20 09:19:06

    我想吧俄罗斯那套教材看完,至少看的有点透……大学四年最基本的目标

  • 奇迹

    奇迹 2010-04-20 17:57:24

    其实这书单上面列的肯定知识是有重复的,比如说分析。。。

  • WuGu

    WuGu 2010-04-21 20:13:28

    其实一个方向基本上也就是一两本书为主,其他的只是做补充的,毕竟每一本书都不是每一个内容都无限完美的 ps:书单上代数和拓扑以及几何(除微分几何外)方面实在有点弱,适合偏分析或微分几何方向

  • 云何吁矣

    云何吁矣 2010-05-11 20:53:12

    看了之后 我受伤啊 伤口又被揭开了 高中三年没听课 上了安徽大学 本来就不怎么样 还是偏文的 数学类书籍 太少了 而且 好多高等数学 辅导书 没几本好的

  • Odyssey

    Odyssey (星河日落。) 2010-05-12 13:21:58

    mark

  • 燎之方扬

    燎之方扬 2010-06-16 20:30:36

    好多啊 不过应该只要选几本也就够了吧 膜拜数学大神们

  • [已注销]

    [已注销] 2010-06-22 08:02:39

    [内容不可见]

  • Alan

    Alan (鲤鱼味美 脑袋发抖 笨蛋白痴) 2010-06-24 21:52:52

    数学分析 菲赫金哥尔茨 复分析 阿尔福斯 注:Stein的分析的三本书不错建议读读 拓扑 Munkres的第一部分+Fulton的代数拓扑 代数 范德瓦尔登的代数学 诺维科夫代数学基础 几何学 诺维科夫三卷 物理 费曼~ 以上为精心挑选,不是书海,但读起来也是要很费些时日的。 PS:小平的那本复分析译的,tnnd,怨念呀。

  • Tabris

    Tabris (人生的意义就是“等待与希望”) 2010-06-25 09:19:53

    @T.D.lemon 几何学 诺维科夫三卷…… 这才是怨念啊!!

  • 侧耳聆听

    侧耳聆听 (人越大,东西变得越模糊。) 2010-07-01 17:36:22

    。。。我这辈子都估计也没能力把这些书看完。。。

  • 不学无术

    不学无术 (环境的破坏、人性的丧失) 2010-07-24 20:01:20

    中国的数学教材最先是从俄国传入 非常感谢此贴 更喜欢搞数学的女人

  • [已注销]

    [已注销] 2010-08-06 12:14:00

    [内容不可见]

  • 落雨

    落雨 (披荆斩棘 积极向上) 2010-08-08 20:09:53

    m

  • 小洁

    小洁 (简约到有点无趣的一个人) 2010-08-13 23:18:01

    数学之路开始一年了。还有如此多的书要读。听说现在学的还只是皮毛。不会是吓唬人吧?!

  • princexu1999

    princexu1999 2010-08-23 18:13:07

    数学分析,你只要看了菲赫金戈尔茨和佐里奇的,基本就ok了,阿黑波夫的也可以学习。当然,鲁丁和阿博斯托尔的也是很好的书,没有必要列那么多。比起站在垃圾堆上,我更愿意站在巨人的肩膀上。

  • 云下

    云下 2010-08-23 19:34:58

    ls,旧的译本好像是有八本。。。。。。。。。 第一卷第一分册、第二分册………………

  • jiajia

    jiajia (瓶颈……) 2010-08-25 20:41:10

    单子里面比较偏分析类吧。 话说我觉得关于抽象代数,很惊讶没有提到atiyah的交换代数,多经典的一本书啊~另外,serre写的很多书也都不错,我现在正在啃他的local fields,受益匪浅

  • [已注销]

    [已注销] 2010-10-23 00:44:59

    [内容不可见]

  • [已注销]

    [已注销] 2010-10-23 01:50:50

    [内容不可见]

  • MyHaWillGoOn

    MyHaWillGoOn 2011-01-18 20:52:25

    为什么没有南开的数学分析?

  • 洗洗睡吧

    洗洗睡吧 2011-02-26 20:00:06

    mark

  • ·`ω´·

    ·`ω´· (禽兽不如) 2011-02-26 20:01:44

    当漫画看?

  • 冷泠

    冷泠 (好好学习) 2011-03-18 02:37:31

    多得惊人

  • ·`ω´·

    ·`ω´· (禽兽不如) 2011-04-07 11:01:58

    这是图书馆的书单,不是用来读的

  • 风里的阳光

    风里的阳光 2011-04-11 05:36:48

    不是正常的顺序,因此,许多书虽然好,但都欠管理,莫非专要体现其无序性^^

  • 阿狄

    阿狄 (晴川历历,芳草萋萋) 2011-05-15 19:47:43

    复旦姚一隽老师写的,现在在复旦教书。话说正在上他的泛函分析

  • Cloud

    Cloud 2012-03-27 09:18:04

    mark

  • hahahahaahha

    hahahahaahha (早上敲醒自己的不是闹钟,是梦想) 2012-04-08 23:30:05

  • [已注销]

    [已注销] 2012-04-08 23:33:32

    [内容不可见]

  • xwq

    xwq (我思故我在) 2012-04-09 22:48:36

    我来推荐一套吉米多维奇的习题指引吧 《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》 共三册 作者是 谢惠民 沐定夷 。 谢老的态度绝对的认真,他自己写的数学分析教材在我们学院试用四年了,不断修改。

  • Simon

    Simon (The road goes ever on and on..) 2012-04-10 08:37:35

    很多书都值得一读再读, 本科时自己读过两本数学分析, 感觉很有价值. 现在大学里面课程开设不是很合理, 多而不精. 一年里把两本书扎扎实实地学透, 远胜过读十本, 每本只知道第一章... 学数学切忌浮躁, 一定要安心去学, 去想, 去思考, 真正的乐在其中, 投身其中才行. 楼主的推荐很贊!

  • [已注销]

    [已注销] 2012-08-05 22:14:55

    [内容不可见]

  • Frobenius

    Frobenius 2012-08-17 14:01:42

    W.Rudin 的不错...顶 [e^i*pi=-1]

  • 天乙

    天乙 (KNOW THYSELF.) 2012-09-28 02:24:43

    m之!

  • [已注销]

    [已注销] 2012-10-07 17:22:56

    [内容不可见]

  • forestryboy

    forestryboy 2012-12-30 20:11:21

    庞大

  • 王晓小

    王晓小 (日暮现残骸) 2013-02-08 13:32:34

    Lay D.C的线性代数及其应用也很好

  • 王晓小

    王晓小 (日暮现残骸) 2013-04-11 20:04:24

    个人认为柯朗的微积分与数学分析引论写的也很好

  • [已注销]

    [已注销] 2013-04-11 20:14:39

    。。。我这辈子都估计也没能力把这些书看完。。。 。。。我这辈子都估计也没能力把这些书看完。。。 侧耳聆听

    [内容不可见]

  • 東來東往

    東來東往 (简易,变易,不易。) 2013-04-26 17:02:33

    谢谢楼主分享,我会慢慢看完的

  • 低端·捞月居士

    低端·捞月居士 2013-05-01 10:39:57

    [内容不可见]

  • Café

    Café (日出,都是对时光流逝的叹息!) 2013-05-02 22:59:10

    MARK,这东西列个清单容易,看看那是相当漫长的。

  • [已注销]

    [已注销] 2013-05-03 06:27:56

    [内容不可见]

  • 吃土少女陈央河

    吃土少女陈央河 (一个神经病的日常) 2013-05-03 07:07:58

    m

  • 今天又瘦了

    今天又瘦了 2013-05-22 19:50:55

    马~

  • 阿狄

    阿狄 (晴川历历,芳草萋萋) 2013-05-24 16:09:26

    还有下文的,在这里补一下: 现代数学的一大特色即是已经完全建立了一套自己的表达方式.没有一个学科象数学这样创造了这么多的概念.现代数学的传播的一大困难也在与此,要向一个非本行(哪怕是数学里另外一个分支的专家)解释清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.但在另外一方面数学是如此有用,而且数学的抽象性使得一个数学观点往往可以表征其它学科的许多看似毫无关系的对象.所以现代数学还是挺值得一学的. 自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,以前上海科技出版社出过一套 1."大学数学自学丛书"应当说编得是不错的.至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考 2.赵慈庚,朱鼎勋"大学数学自学指南"赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.好象是高等教育出的. 下面转到欧美方面, 3.Coddington & Levinson"Theory of Ordinary Differnetial Equations"这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧. 比较"现代"的表述有 4.Hirsh & Smale"Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems"(中译本"微分方程,线性代数和动力系统" 这两位重量级人物写的书其实一点都不难念, 非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问. 图书馆里有中译本. 5.Arnol'd"常微分方程"必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多. 看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Yes. 6.丁同仁,李承治"常微分方程教程"这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实, 观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看 7.卡姆克(Kamke)常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,理图里有.对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象 8.Courant-Hilbert"数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些. 而且,9.王竹溪,郭敦仁"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室有一本. 单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数一样的地位...就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.复旦现在这门课是张锦豪老师教.张老师是做多复变的.毫无疑问,多复变在二十世纪的数学里也占有相当重要的地位,不仅它自身的内容非常丰富,在其它分支中的应用也是相当多的--举个例子就是Penrose的Spinor理论,基本上就是一个复分析的问题.这就扯远了,就此打住.张老师用的是他自己的讲义,那书要到今年夏天才能印出来.所以还是这两年上过这门课的ddmm来谈谈感受比较好.现在具体的情况我不是很清楚,复旦以前有一本 1.范莉莉,何成奇"复变函数论"这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的. 不知道数学系的学生还发这本书吗?如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧: 2.普里瓦洛夫"复变函数(论)引论"这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句"sin z有界无界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上被开回去了,实在是不幸之至.这书不在理图就在总书库里面. 3.马库雪维奇"解析函数论(教程?)"这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.它比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用2.做课本,学完后再看3.,然后就可以开始做研究了.这本书的一个毛病是它喜欢用自己的一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert吧! 再说点西方的: 4.L.Alfors(阿尔福斯)"Complex Analysis(复分析)"这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)记不清了,建议还是看英文的. 这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的. 5.H.Cartan(亨利.嘉当)"解析函数论引论"这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-)) 6.J.B.Conway"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159) (GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第二卷里面才能看到. 7.K.Kodaira(小平邦彦)"An Introduction to Complex Analysis"这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课 是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"我就找不出什么错. 偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合写的。应该是不错的, 习题较多。 科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。其他的复变书都大同小异,偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题 9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理"第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的. 10."解析函数论习题集"实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书里面的题目相当多.理图里面有,系资料室有一本英文的.其它的书我认为可以翻翻的包括 11.张南岳,陈怀惠"复变函数论选讲"这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.从内容上来看,第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"(这部分内容在6.里面也有),然后去看 12.J.-P. Serre(塞尔)"A course of Arithmetics"(数论教程)第二部分的十来页东西就可以理解下述Dirichlet定理的证明了:"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,理图里面还有 13.庄圻泰,何育瓒等"复变函数论(专题?)选讲"差不多的题目应该有两本,一本肯定理图里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的 同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一本记忆中就觉得太专门了点. 除此之外,讲单复变的还有两本书,不过可能第一遍学的时候不是很适合看.图书馆里面都有. 14.W.Rudin"Real and Complex Analysis"必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候再谈吧! 15.L.Hormander"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些奇异积分. 16.Titchmarch"函数论"这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子. 除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要影响的先驱,等说实变的时候再谈吧! 17.戈鲁辛"复变函数几何理论"这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.总书库里面应该有,标题可能略有出入. 最后讲一本书,不知道复旦有没有: 17. R.Remmert"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深, 其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的来龙去脉交代的异常清楚. 12.的作者J.-P. Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)这门课没读过,不过如果现在的课本还是 1.I.Tomescu"组合学引论"的话,倒还是想说两句的.首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案 (严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,就该知道这些结果不是那么平凡的了)作为补充,可以考虑 2.I.Tomescu"Problem in graph theory and combinatorics(???)"这本书有比较详细的提示和解答,里面的题目也非常好,高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).不过复旦是不是有我不是最清楚.但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面有很多: 3.Lovasz"Problems in Combinatorics(?)"这是本相当好的习题集,作者Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合学家.唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点,不过千万不要被吓倒!(这里应当声明,已经快五年没好好看过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所偏差,还望大家原谅)有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概可以算 4.Bondy,Murty"Graph Theory and Applications(?)"(中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有)这本书内容翔实,写得很容易读,而且有许多难度适当的习题,注意这些习题不仅在书后(好象)有简短的提示,而且在图书馆里面还有一本 5."图论及其应用"习题解答做得还算不错吧.翻译成中文的书里面,还有上海科技出版的 6.Harary(哈拉里)"Graph Theory"(图论)这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的,所以有相当难度,虽说那里给出了非常详细的文献来源,但是有些还是很不好找的.这本书其实已经有点专著的味道了. 讲到图论,还有象 7.B. Bollobas"Graph Theory"(GTM 63)这本书世界图书刚刚重印,市面上应该还能见到不少.Bollobas现在是在剑桥吧,国际数学家大会上也是做过45分钟报告的.(作为参照,改革开放以来,从大陆出去做过45分钟报告的好象才两个人--在国外工作的加上去 也不到十个吧) 8.G.Chartrand,L. Lesniak"Graph and Digraphs"是本好书,浅显易懂. 此外还有9.C. Berger"Graph and Hypergraph"是这里的框架性著作,至少在外国教材中心里面有一本.还有一些不讲或不专讲图论的组合书,中文的有 10.李乔"组合数学基础"我们的这位校友(华宣积老师的同学)文革期间在中科大吃过很多苦头,现在在上海交大.他这本书写得很不错,不过一个小小的遗憾,就是这书的书脊上印的是"组合数学础基". 11.I. Anderson"Combinatorics of Finite Sets" 12.Bollobas"Combinatorics"这两本书国内影印过,所以我想总书库里面会有. 理图里面还能找到一本薄得要死的名著13.Ryser(赖瑟)"组合数学"这里面记得有一些讲组合设计的章节还是很简单明了的. 至于象14.魏万迪"组合论"这书感觉好象篇幅太大了点,而且你很快就会发现其实这书很不好看.着重算法的书很多就是计算机类的了,比如 15.朱洪等"算法设计和分析" 16.卢开澄"组合数学--算法与分析"印象中该书第一版是上下两册,第二版就只剩下一半篇幅了,没有很仔细得比较过前后两版,所以也说不出究竟变了点什么.组合数学有不少书是可以看着玩的,比如外国教材中心里面有一本书好象叫"Graph theory from Euler to Konig"(等于就是说讲现代图论的史前史),等等.如果要求不是很高,那么下面的书可能可以算篇幅不大,内容不深,但多少也讲了些东西的: 17.I. Anderson"A First Course in COmbinatorial Mathematics" 18.C.Berger"组合学原理"(上海科技) 19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长)"组合学引论"这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点.其它都还好,在北美的评价也不错. 此外,最近刚刚看到出了一本 20.Lovasz,et al.(ed.)"Handbook of Combinatorics"厚厚的两大本,里面有很多人的文章,算得上是包罗万象了. 组合里面还有一个非常有名的东西--四色定理,关于它就是是不是被证明了争论了很多年,当真是仁者见仁,智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken写过本书,就叫21.Appel ,Haken"Every Planar Map is Four Colorable"如果你觉得这书块头太大,可以先翻翻他们在 22.Steen(ed.)"mathematics today"(中译本:今日数学,上海科技)里面的一篇通俗的文章,写得非常的好. 最后补充canetti指出的 23.Reinhard Diestel"Graph Theory"(GTM173)这本书里面讲到了概率方法,这个感觉是一个很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields奖的T.Gower(这位是靠Banach空间理论得奖的,但是他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆就转向组合了) 抽象代数有的地方管这叫"近世代数",反正近不近各人自己看着办吧!从历史上说,可以认为严肃的讨论是从伽罗华开始的,他在决斗前夜写下的那封著名的信件(里面有"你可以公开向Jacobi或者Gauss提出请求,不是就这些结果的正确性,而是重要性,给出意见....",现藏法国国家图书馆).在后来的发展过程中,代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个角落.到今天这已经是一门无处不在的分支了.不止一个老师教导过我们:在复旦,你们受到的分析训练将是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫. 现行教材是我的本家写的,总的说来作为初学还很可以一读,原因将在下面说明. 北大的课本是 1.丁石孙,聂灵沼"代数学引论"这本书的特点和北大的那本高等代数一样,就是没什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了 2.N.Jacobson"Basic Algebra I,II"这书在总书库里面有不少,理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.Jacobson在代数领域也属于权威,是华先生同时代的人.这本书从观点上说是相当现代化的,比同作者的那本 3.N. Jacobson"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)要改进不少.有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去比较一下从习题的角度上说,可以看 4.徐诚浩"抽象代数--方法导引"这本书可以说比较适合在复旦学这门课.可以罗列的参考书还有很多,综合性的课本有名气很大的 5.S.Lang"Algebra"Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过AMS发的Steel优秀图书奖. 6.莫宗坚"代数学(上,下)"北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书推崇倍至,认为比1.写得好. 7.熊全淹"近世代数"这本书的好坏不敢评论,不过这本书有个很大的特点,就是作者收集了很多小文章,比如许多American Mathematical Monthly上的短文.依他开列的参考文献到系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.其它的就是比较专门的东西了.比如群论就有影响过无数学者的 6.库洛什"群论"注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样.或者段学复先生的导师Robinson写的 7.Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80)再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,不过我是一窍不通的了.还望这里的高手多多指点. 对于Galois理论,有一本8.E.Artin"伽罗华理论"非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作. 还有9.Edwards"Galois Theory"(GTM 101)这本书很有趣,它是循着Galois的原始想法写的,因此和一般通行的教本里面的讲法不是很一样.这是数学系的学生学到的第一门完全属于二十世纪的课程.这门课程的重要性是不言而谕的.对于这门课程在中国的发展,许多和复旦有密切关系的前辈都做出过重要贡献.在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在 1."中国现代数学家传"(第二卷)里面做了一篇传记,不可不读.陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是 2.陈建功"实函数论"今天看来,这里面的内容是相当古典的,但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,龚升,李训经...前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大图书馆的(见内页题字) 现在用的课本是 3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌"实变函数论与泛函分析"第二版,上,下册这是,在我看来,复旦为中国的数学事业贡献的最重要的课本.从1978年第一版出版开始,这就是中国最标准的实变与泛函课本.受益与此书的学生不可计数.夏先生是陈先生五十年代初的研究生.当年陈先生开实分析课的时候夏先生做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是吗?*_^)夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅在在苏联的两年间做出了相当好的工作,而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组.具体可以看 4.杨乐,李忠编"中国数学会六十年"里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地位!夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的是这三样. 我们一章一章来看:第一章"集和直线上的点集"这是很美妙的东西,数学系的学生从这里开始严肃地接受关于无限的教育.具体的问题是教师一般都要在这一章上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的东西学生以前根本没有接触过.我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章的内容,象实数理论和极限论,等价关系,直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容. 大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,在5.E.Hewitt, K.Stromberg"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently".这是很有道理的. 这个方向上扩展出去可以看 6.那汤松"实变函数论"在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.徐先生不幸于文革中自杀身亡.总书库里面有.另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如 7.汪林"实分析中的反例"这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!理图里有.和一些习题集和解答,比如 8."实变函数论习题解答"这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧. 9."实变函数论的定理与习题"记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.里面有详细的解答,质量相当高. 第二章"测度"这是这本书上册的核心.测度在这里的讲法,从环上的测度讲到测度的扩展,基本上属于 10.P.R.Halmos"Measure Theory"(GTM 18)(中译本:测度论)的框架里面.这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做. 集环的理论 一本相当有趣的书可以看看, 就是11.J.OxtobyMeasure and Category(GTM2)这里的"category"不是指代数里面的范畴,而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西. 现在可以来谈谈12.周民强"实变函数"(第二版)这本书写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,而且都是能做的习题--复旦的课本里面的习题初学好象是难了点,特别是在没有答案的情况下还有一本很好的书,可惜至今只打过几个照面,但是可以肯定的是绝对是好书: 13.程民德,邓东皋"实分析"我见过这书里面的一个测度的题目:$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的. 第三章这就是真正的实分析了.这里面应该说每一节都是重要的.在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑下面的: 14.I.E. Segal, R.A. Kunze"Integrals and Operators" 和15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin"函数论与泛函分析初步"这些作者应该说都是相当好的数学家了.比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的. 第四章从这里开始算泛函分析的课了.不过这一章是不是一定要以这样的篇幅在这里讲值得讨论.其实很多度量空间的概念在数学分析课里面就可以解决掉,在这里应该只要强调有限维和无限维的差别就可以了.上面的许多参考书在这里一样可以用,还应该加上的是: 19.汪林"泛函分析中的反例"第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,整个泛函的体系都可以建立在上面,理图里面有一本 20.夏道行,杨亚立"拓扑线性空间"不过那书基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的化还是看下面几本 21.N.Bourbaki"Topological Vector Space"Chpt. 1-5布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见.而且估计今后也不会有后续的内容了.在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙"泛函分析第二教程"里面就有一些这方面的内容.此外还有象 17.夏道行,严绍宗"实变函数与泛函分析概要(?)"(上海科技出的那套教材里面的一本,理图里面有)好象就是按照先积分再测度的办法讲的.另外用这一体系的书好象还有 18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)这也是不错的书.对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的: 22.H.H.SchaeferTopological Vector Spaces(GTM3) 和23.J.L. Kelley, I.. Namioka Linear Topological Spaces(GTM36) 16.里面有一章也是讲这东西的.其它许多以"泛函分析"为标题的书也是以此为出发点的,比如 24.S.K. Berberian"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.或者25.W. Rudin"Functional Analysis"这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的. 26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov"Functional Analysis"(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,中译本的质量也很不错. 此外还有27..J.B. Conway"A Course in Functional Analysis"(GTM96) 第五章这一章讲述Banach空间上的有界线性算子理论.这一内容的框架性著作毫无疑问是 28.Dunford,Schwarz"Linear Operators"I这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.注意有一些结论是可以把Banach空间减弱为Frechet空间的,不过好象据说实际应用中除了广义函数空间是个Frechet空间以外其它用得并不多. 前面列的各中标题是泛函分析的书这里都可以用.汪林的书19.里面有许多有趣的例子.不自反的空间的例子在系资料室可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上. 再补充一下前面漏掉的一本书: 29.W.Rudin"Real and Complex Ananlysis"在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,老的版本总书库里面有很多. 第六章 Hilbert空间由于其上存在一个内积,可以发展的性质比Banach空间要多得多.从空间本身来讲,线性代数学好点对本章前面几节有很大帮助,学的过程中密切注视维数无限导致的各种反例就是了.算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些有限维的性质是可以推广到无限维的对整个体系的理解很有用.本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,如果第四章能省下的点时间的话还是能够讲一些算子谱理论的.这里可以做的习题非常多,特别是 30.P.R. Halmos A Hilbert Space Problem Book(GTM19)算得上一本杰作."The only way to learn mathematics is to do mathematics"就出自这里.再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)在16.里面有一章讲些基本概念.这一块的文献也是浩如烟海,因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书, 31.G.K. Pedersen"C*-Algebras and their Automorphism Groups"这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理的联系,可以看 32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"AMS Notice,v.44(1997),No.7 33.A.Lesniewski"Noncommutative Geometry"AMS Notice,v.44(1997),No.7 还有34.Irving Segal Book Review, Non commutative geometry by Alain ConnesAMS Bulletin,v.33(1996),No.4 因为35.Alain Connes(Fields 82)"Noncommutative Geometry"可以说是这一块的里程碑式的著作,(33.中甚至说今后人们会用今天看Riemann的就职演说的眼光看这本书)所以对于这本书的评论很多也就把整个分支都评论进去了,不妨看看.Jones说这书是"A milestone for mathematics. Connes has created a theory that embracesmost aspects of `classical' mathematics and sets us out on a long and exciting voyage into the world of noncommutative mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面有一些批评,也值得注意. 第七章这一章一般不讲,在本科阶段不讲,在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?主要问题是,就事论事地讨论广义函数恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架在偏微分理论中的应用.现在的状态就是你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认复旦的偏微是很强的...\\sigh 在广义函数的标题下最有名的应该是 36.I.M.Gelfand等"广义函数"(Generalized Functions,I-V)大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是第二本最有意思.另外还有两本好书,不光是这一块内容,从整体上讲也是很好的泛函课本 37.K.Yosida(吉田耕作)"Functional Analysis"他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版去年世界图书刚刚影印. 38.H.Brezis"Analyse Fonctionelle"Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.如果能念法语的话绝对值得一读.在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.这是讲偏微分方程的课的名称.顾名思义,就是说这里的方程原则上最早都是从物理里面来的.这个分支里面的东西丰富之至(当然往反面说就是有时候会显得结果比较零散). 现行课本是 1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿"数学物理方程"(上海科技)这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么? 一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!! 学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些. 注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书 2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆,???"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.特别指出这本书的原因是在复旦的课本中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"习题解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答对于做作业是很有帮助的. 比较容易找到的书里面, 3.陈恕行,秦铁虎"数学物理方程--方法导引"是一本非常好的讲习题的书.里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了.还有 8.O.A. Ladyzhenskaya"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"和5.一样,都很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说.既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,在这个方向上我以为9.李大潜,秦铁虎"物理学与偏微分方程"(高教)还是很不错的,上册已经出版,下册也就要付印了.该书的起点并不高,所以应该比较容易看.据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的. 比如10.L.Bers, F. John, M. Scheter,"Partial Differential Equations"Bers是个很有趣的人,可以看看 11.L.Steen, ed."今日数学"(Mathematics Today)里面的文章.附带说一句,这本书是最好的数学普及读物之一,绝对值得一看,中译本的质量也不错. 12.F. John"Partial Differential Equations"这本书系资料室肯定有.剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚印,虽说贵了点.不过还是值得一看的. 13.J. Rauch"Partial Differential Equations"(GTM128) 14.M. Taylor"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))引G. Lebeau的一句话,这书比15.L. Hormander"Linear Partial Differential Operators, I"要好念多了.(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已--法国科学院通讯院士,46岁)我拓扑学得很差(从总体上说),因此这里我也说不出太多东西.大概也就点集拓扑还算过得去, 我以为这一方面我们的现行课本: 1.李元熹,张国(木梁)"拓扑学"的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.中文的参考书里面好象 2.熊金城"点集拓扑讲义"是比较好的.该书也有些名气.不过要好好学,可能还是看下面的两本比较经典的书: 3.J.L. Kelley"General Topology"(GTM 27)此书名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个很好的总结.该书是想写成课本的,因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...编号.只是....真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有一位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了,因为大家都明白这目标不是很现实.我个人的经验是,在那个学期陷入各类考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较困难,但是做起来也非常有趣.再补充一本中文的书,内容和1.差不多 4.尤承业"基础拓扑学"是北大的教材. 5.I.M.Singer, J.A.Thorp"Lecture notes on elementary topology and geometry (中译本基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)这是本极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义. 如果你只想查结果,我觉得可以去找 6.R.Engelking"General Topology"这书是七十年代末写的,内容翔实,至少对我来说是有包罗万象的感觉,当然对做这一块的人就不一定了.按照萧先生的速度,大概第二章还是能讲大半的.这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了.讲代数拓扑的书,可能 7.Greenberg"Lectures on Algebraic Topology"属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类.还有象GTM里面的 8.W.S.Massay"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)也是写得很好的书.我能写的大概就这点了,还望大家多多补充. 这个学期刚刚在学拓扑,做些补充的说。拓扑学是在十九世纪末兴起,并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支,现在已与近世代数,近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先要对该学科有一个感性的认识的话,建议看《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著这本书只有不到两百页,可是覆盖的面很广,也有一定数量的有启发性的题目。 M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间,有些是甚至是在度量空间里讨论问题的,所以一些定理的证明就变的比较简单易懂,例如Urysohn引理。由于侧重点不同,这本书对复旦现在的课本是很好的补充。 Spanier's "Algebraic Topology" can not be neglected. it is a classic in this field, though it is not easy to read. Aleksandrov's " Combinatorial Topology " is very good for beginner. It is an authority in history.but it is too large, it contains 3 volumes.Bredon's " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as the successor of Spanier's great book. 7.Greenberg: "Lectures on Algebraic Topology" 属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类. 还有象GTM里面的 8.W.S.Massay "Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56) 几何是非常美妙的,通常人们提到几何的时候会把直观两个字加上去.这其实是很有道理的,在微分几何中也不例外.具体的说,就是虽然微分几何往往会使人感觉被淹没在计算的汪洋大海,但是有一个几何的"感觉"是很有帮助的. 现在用的课本应当是 1.苏步青,胡和生等"微分几何"这书写得不错,至少比北大陈维桓的那本"微分几何初步"要好多了.这很大程度上应当感谢本书的主要作者,也就是书上列的第三作者沈纯理先生,他现在在华师大.应当承认这本书,特别是第三章,取材受 2.Do Carmo(多卡模)"曲线和曲面的微分几何学""Differential Geometry of Curves and Surfaces"这是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来实在是功德无量.在总书库里面有一本英文本,如果怀疑有什么翻译问题的话可以去对照. 1.第三章里面有个习题是从2.的中译本上搬过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候要小心.还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明中有个地方漏印了两项,具体去问黄宣国老师吧.一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的扩充部分包括在2.的末尾所开列的参考书目.这是我很少见到的带书评的书目.里面提到的一些经典的著作在数学系资料室都能找到, 比如3.Eisenhart"Diffenrential Geometry(?)"谷先生读书的时候就念过这本. 还有象4.Darboux"Lecons sur la theorie generale des surfaces"在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷. 古典微分几何的开山之做是5.Gauss"Disquisitiones generales circa superficies curvas"这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用德文写的),所以虽然系里有Gauss全集,我也不认为有人能看懂,不过现在我们有下面的 6.P.Dombrowski"150 years after Gauss' 'Disquisitiones generales circa superficies curvas' " 这里面有完全的英文翻译和里面的结果到 20世纪70年代末的发展情况.对于中文的课本,其实总数就不是太多.有象 7.吴大任"微分几何学(?)"或者五十年代翻译苏联的课本等等,内容都差不多,而且微分几何的特点是各人都喜欢用自己的一套符号,许多符号,象曲率等等,常会有正负号 的差异,所以建议认定一两本,其它简单翻翻即可.所以说想找讲解详细的书还不如看 8.沈纯理,黄宣国"微分几何"(经济科学出版社,97)虽然说这本书是自学考试的教材.那里的习题也是有较详细解答的. 更难一些的习题可以在 9.姜国英,黄宣国"微分几何100例"里面的题目全部做下来的话,应付期末考试绝对是没有问题的.而且,如果老师有心考点难题的话,说不定就会有里面的题目. 此外还有两本苏联人的书10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko "微分几何与拓扑学教程" (中译本,第一册,第二册): 我没有看到过是否有第三册,反正这书是没有翻全.其处理方法别具一格.我想这书要不是非常好的话胡先生也不会去翻它.这本书确实不错,可我没有全部看完:(忻元龙老师有时候会开一门"极小曲面",这里的特点是甚至可以不引进流形等概念,出现的最难的工具有时候就是单复变的一些结果.这门课的参考书大概首推11.R.Osserman"Lectures of Minimal Surfaces"此书篇幅不大,但内容丰富. 其它还有12.J.C.C.Nitsche"Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1)这书学校里面肯定有.这里面关于Plateau问题讲得很全,可惜至今我没见到第二册,而原来的德文版又看不懂(上面写的是英译本):-(注意到微分几何有许多东西并不象大家想象的那样古老,比如第三章里面提到的Fray-Milnor定理,那J.Milnor还好好活着呢?再比如说等温参数,几乎必引的文献就是陈省身先生55年的文章.这些文献,系里的资料室里面都是有的,看原始文献可以让人逐步体会一样东西在它刚刚出现的时候是个什么样子,这和经过无数再处理后写进课本的讲法往往是不一样的. 补充一本:《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写就是那本黄颜色封面的,理图里有借 这本书的原版据说晦涩难懂,但即使改写以后,根据潘老师的讲法,看起来也比较费劲。印象比较深的有,书中单独的一节讲了Bertrand曲线,对于等周问题,该书也给出了好几种不同的证法。(最近的几期美国数学月刊里,对于该问题也集中给出了几个比较初等的证明和若干相关命题)另外,该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明该命题的人名和时间。使人能够感受到微分几何发展的脉搏。 《微分几何一百例》确实是一本很好的书,这本书很薄,所以可以在两三天里面看完。但是建议在看解答的时候最好先自己想一想,因为书中有些题目的解法并不是最简洁的。yjyao师兄猜得很准啊,我们上个学期考试的时候有一道题目就是来源于这本书,当时做出的人不多。 现在想来讲两句"微分流形",我想大概给94开的是第一次,当时是作为基础专业的选修课的,我是逃了三分之一的抽象代数课去听的 (当然,应该解释为为听这课逃掉了三分之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^),最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩-那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A.说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-((当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的,不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但总是有点别扭的,我以为)首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已. 复旦曾经有相当长的一段时间用 1.W.M.Boothby"An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry"作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦,讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅,但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细, 几乎所以的东西都是有详细证明的.理图总书库里面有不少.讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等.中文书里面有 2.陈省身,陈维桓"微分几何初步"很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材,我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧) 另外被认为写得比较好的中文书有 3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英"黎曼几何初步"这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题,书末更有一个索引,实在是本好书. 有胃口的话,还可以看看 4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov"Modern Geometry--Methods and Applications"的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过).该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷的第一章.二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子,另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本 5.Gallot, Hulin, Lafontain"Introduction to Riemannian Geometry"(?)是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好,评价(我听到的)也很不错.用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理都是要明白的. J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的, 6.J.MilnorTopology from a differential point of view(中译本:从微分观点看拓扑) 7.J.MilnorMorse Theory(中译本:莫尔斯理论)如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的.讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等. 这里有8.Spivak"Calculus on Manifolds"(?)(中文名字就叫"流形上的微积分"⒎至餍?可以一看.有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习,不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少? 9.V.I.Arnold"Mathematical Mathods of Classical Mechanics"里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了.还可以一看的书有 10.R.Narasimhan"Analysis on Real and Complex Manifolds"(中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986) 陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正.我想至少前一百页是可以看的. 11.苏竞存"流形的拓扑学"此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话,很有意思.有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的,12.C. von Westenholz"Differential forms in Mthematical Physics"(这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式,理图里面至少有一个版本)这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候),应该说帮助不小. 至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何",可能是太深了点,非物理学家不能理解.大学里面念过的本科的课程,基本上就全部写完了,感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了我的"酸"劲.\\bow其实严格说来这里面除了参考书的名字和简短的评论外,我还写了一大堆从某种意义上说属于"题外"的话.我的想法是,在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,数学还包括了为数众多的数学家的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节是做不好数学的,我以为.从技术上说,大学数学系的课程还有很多没有写到,即使写到的这些,也有很多需要补充,修改的地方,只不过...我是没那心思了:-)至少在近阶段.希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们多多贡献,在这里先予感谢!

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