现代几何

阅微草堂
来自: 阅微草堂 (南京) 2015-05-22 16:04:52创建   2016-11-17 10:20:36更新
每次我读数学书和计算机书都是感觉自己学会不少思想和概念,但是一段时间不读,我就忘记了,感觉还是什么也不懂,然后我就又回去读了。后来知道了联系和逻辑继承,又知道抽象和复杂的关系,最后知道了数学成熟度,慢慢就不担心自己的遗忘了

为了研究数学现象,从开始起唯一明显的困难就是,首先必须对数学的主要领域有个全面的、大概的了解。

数学与雕塑一样,普通的木头里没有埋着定理。但从外面却看不出里面究竟埋着什么,只好雕刻着看。数学中的雕刻就是一边进行繁复的计算,一边调查文献,决不是简单的。在许多情况下什么结果也没有。因此数学研究非常费时间。可以认为,研究的成败主要取决于运气的好坏

小平邦彦





等价,类比,抽象,推广,构成了数学的思想的基本步骤

数学和物理的思想变化:针对问题列偏微分方程,解方程--而解方程的时候多半是采用特解形式(线性组合)-----命令式逻辑谓词方法;第二个阶段算子化方程,求从问题空间到解空间的转移矩阵和映射---状态空间搜索--初值问题--动力学---面向对象方法

代数几何为什么难以理解?微分几何为什么出现纤维丛?本质就是随着复杂度的提升,数学从过程式语言转化为面向对象语言:表示过程的数学函数转化为映射,而映射转化为了代数结构变为实体。线性代数为什么难学?其实中间就有过程转化为对象的思想-对偶空间,而物理中点的运动和弦振动等价也是过程变对象


本科数学最关键的四个定理傅立叶变换,伽罗瓦定理,高斯博内特,二次互反定理。数学关键定理的意义在于其极大的推广
方程没有显式解但是我们依然可以讨论解的存在性和唯一性,这个是现代数学一个标志性转变!

拓扑学三个发展刺激:代数几何(代数工具:层,谱序列等),量子场论(低维拓扑),变分学和动力学(莫尔斯理论和非线性偏微分方程)。拓扑与特殊结构关联:组合结构和光滑结构。

函数可以看做过程映射-表示运动轨迹的映射,可以看做对象,无穷维空间的元素


学数学和物理不需要万事巨细,不是每个命题都需要严格推导,就类似于工程学,很多仪器你只要怎么用就行了,而仪器的原理不需要完全理解,看电视就看电视,而不需要完全理解电视的原理,你才能用。人的时间精力是是有限的,我们能做到的一点点新的东西就行了

面对十分复杂的问题,无论是提问者还是解答者,重要的都不是寻求一个简单清晰的答案,而是试图去理解背后的形成机制,任何简单的答案都是不合适的,没有答案不应该让我们感到难堪

牛顿的研究本质是连续性概念,欧拉拉格朗日都是这个路子下来得到了流形和形变的牛顿类比。高斯的研究本质内核是什么???局部整体原理:高斯博内特公式(整体曲率和欧拉类拓扑性质);高斯二次互反律(局部推理整体)高斯超越时代100年

没有人能掌握所有知识;但是,所有知识都是有关联的,追寻着关联的路径学习产生的效果普遍情况下是最大的。不必太担心学错,因为到达工程级别,你学过的八成知识都不会被作为工具使用,而它们的只是实现了它们的历史使命,成为你现有某个实用知识的中间点/桥梁、为你现在的学习效率做了一次铺垫
总的来说,说到了知识是关联的,学习是以不同的学习成本连接不同知识的过程。还有呢,值得鼓励的是,随着知识的增加,智力和经验会随之提高,学习成本也会降低,越来越容易学习。虽然具体到某个知识点只有懂和不懂,但是具体到一个面,还有懂多少的问题。这就回到了刚才的引述,生产效率为什么会差n倍



数学的学习是从方程,公式,计算到定理,概念,存在性证明的过程转变,是从孤立的解题和找寻到概念、命题之间联系的过程,这个过程就是研究之过程,也是每个研究者的蜕化之路

数学学习最难的是符号和概念的结合,及概念和具体的结合。这两点做好了,数学就理解了一大半

数学重在概念的理解上,命题之间的逻辑关系上,思考具体的例子和抽象理论的相容性。



遇到问题知道去那本书里寻找答案,是比考试对于书的内容要求更大的一个要求,也是考试和研究的最大区分
我发现当你试图开始使用一本数学手册或者是数学辞典的时候,基本上你必须已经掌握了这本书的所有内容了-----------当你开始学会在那个地方找的时候,其实你已经理解

现代代数几何关键的思想:方程组被对象组替代,对象组被理想零化

偏微分方程两个方向:调和分析(先验估计决定整体解);代数拓扑决定整体解

读了自己《现代几何》豆列,才发现如果没有关键的几本英文经典原版书,如何不能学明白数学是什么


可收缩函数(压缩函数)具有不动点定理,转换为方程语言就是有解,再次转化为函数和几何的语言,就成为了反函数定理确定正则值和同胚,用来判断子流形存在

学习从特殊到一般,而应用和研究从一般到特殊,这是相反的过程

微分几何中不理解的地方原来都是代数知识,那些复杂和可恨的符号其实都源自代数运算,而这些代数运算就是结构:函数(分析)---映射(几何)-----算子(泛函分析)----同态(代数)--这些都表示了特殊的结构





复分析最不能理解的内容本质就是黎曼在研究函数论的同时引入了拓扑学思想;微分方程不能理解的哲学本质是数学就是逃避计算和直接求方程的艺术;

数论中最精道的数学味道是:不直接通过解方程而得到解的性质。然后展现在我们眼前的推广这个思想就有了:庞加莱对于常微分方程的定性分析;伽瓦罗的域论;复变函数的黎曼映射定理。。。这也就是塞尔说的现代数学最大的进步是几何直观从笛卡尔 欧拉时代消失,到现在又回到我们的身边

深刻的几何问题解答都是来自分析,几何描述不过是把分析中的命题直观化了

现代数学的基本问题:嵌入和内蕴结构之间的关系;整体和局部之间关系;高维几何与多元之间的关系;

现代数学的关键学科是:李群,代数拓扑(环层空间),调和分析

代数拓扑的障碍:一是需要同调代数工具;二抽象定义将分析和几何的来源所遮蔽

国内数学教材后面的例题普遍是照葫芦画瓢,或者是简单的变形,而在正规的教材中,数学习题起到了很大作用,是正文的补充,或者是正文证明主定理的辅助定理,或者是正文主定理的推广技巧
6人
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1
来自:豆瓣读书
(2人评价)
作者: Shiing-Shen Chern
出版社: World Scientific Pub Co Inc
出版年: 1996-06
评语:理解一门数学最好的方法就是找出其核心论文和核心的大家写的关于这方面的论述
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2
来自:豆瓣读书
9.7 (84人评价)
作者: F.克莱因
出版社: 高等教育出版社
出版年: 2010-3
评语:从低级几何结构逐步生成高级的几何结构解析的说就是相应于令某个行列式为0.一个二次直纹面的射影生成,只要令一个由平面方程双重排列得到行列式为0得到,两个生成元。行列式作为多项式可以作为几何的生成函数。高斯发现椭圆函数理论是因为:找到了算术和几何平均,正定二次型,双纽线三者之间的关系。黎曼找到了复变函数和共形映射及调和分析三者之间的联系。数学中有两个思想是相互交织的:演绎形式的准确性还是理解的清晰性及详尽的发挥一系列自然问题。拓扑学的基本思想:在几何学里不应该把由于图形各个部分位置不同而产生的各个情况孤立起来研究---在欧氏几何中这是标准的,而应该介绍所谓符号法则,寻求统一的处理。曲率最大的误解来自于它暗示了可视性,而实际上它仅仅是一个微分几何的不变量。哈密尔顿的算子既可以看做为一个算子也可以看做一个向量,这是经常容易误解的地方。从求解哈密尔顿标准方程到求此方程的变换是把这个方程看做2n维流形的关键。统计力学中我经常无法理解的原来是把过去的解哈密尔顿方程转化为理解从初始条件下求最终条件的算子,这样哈密尔顿方程就成为了2n空间的一种运动或者是变换,而这样的运动是由由李代数构造的。复分析之所以难以理解,因为它包含了太多的新的思想,而这些思想作为现代数学的基本萌芽:单变量复变函数积分导出同调同伦概念,解析延拓得到了黏贴和转换函数及函数芽与层的概念;共形映射与复变函数及拉普拉斯方程关系;
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3
来自:豆瓣读书
8.4 (138人评价)
作者: [瑞典] L. 戈丁
出版社: 科学出版社
出版年: 2001-7
评语:作为数学最基本的一个基底,值得研读很多遍的书。向量空间与交换群的类比:射影算子下的不变量子空间和商群,射影下的不变量和群的商群组合序列等Jordan- Holder theorem 类比;LI可积函数的傅里叶反演不一定存在但是在恒等逼近算子收敛性意义下等价类;研究高斯和柏松和;在勒贝格积分L2(RN)中傅里叶变换是酉算子,且唯一性。Lp(p》2)的傅里叶变换是施瓦茨函数速降空间的同胚;有限复值 borel测度空间是无穷远为0的连续函数空间的对偶;
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4
来自:豆瓣读书
9.4 (247人评价)
作者: [英] Timothy Gowers (主编)
出版社: 科学出版社
出版年: 2014-1
评语:现代数学的开始是建立在概念途径,其基本的标志是:接受任意函数概念(任意函数就是说函数仅仅是一种关系的描述,没有显示表达仅仅是抽象表达);承认无穷大;关键的是用思想代替计算(数学理论不应该以公式和计算为基础,应该以一般概念为基础,而解析表达式和计算工具是理论的进一步发展),更加关注公理刻画的结构;承认存在性证明
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5
来自:豆瓣读书
9.5 (158人评价)
作者: Eberhard Zeidler / Wolfgang Hackbusch / H.-R.Schwarz
出版社: 科学出版社
出版年: 2012-1-1
评语:最基本的数学基础,用现代语言写作的数学基础必读书,初等微分几何最好的书不是教科书,而是《数学手册》因为初等微分几何的公式和曲线曲面的表示太多。嘉当关于 frobenius定理的证明方式本质是代数几何中方程组被对象组替代,对象被理想零化;frobenius定理是构造曲面和流形的一般工具:初等微分几何的曲面论的证明本质依赖frobenius定理;李代数构造李群;变量为3元的时候,则到了向量分析范畴,已知梯度,得到的可积条件是旋度为0;
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6
来自:豆瓣读书
8.6 (34人评价)
作者: 加黑蒂
出版社: 清华大学出版社
出版年: 2004-08-01
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7
来自:豆瓣读书
9.3 (66人评价)
作者: I.R.Shafarevich(I.R.沙法列维奇)
出版社: 高等教育出版社
出版年: 2014-3-1
评语:曲线c由多项式方程F(x,y)=0所定义,等价于研究环C【c】=C【x,y】/F(x,y)-------这个是理解代数几何中关键的一个例子。它的基本思想:方程组转化为对象组,理想零化对象组-------外尔所提倡的基本原则。解析延拓----函数元素(U,f)----函数芽--单连通覆盖----环层空间-黎曼曲面
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8
来自:豆瓣读书
8.3 (48人评价)
作者: 侯伯元
出版社: 科学出版社
出版年: 2007-11
评语:国内关于现代几何最好的入门书,没有之一理论物理学是符号体系,由四步骤构造:物理量的定义和测量,假设的选择,理论的数学展开,实验与理论比较----------法国科学哲学家迪昂《物理学理论的目的与结构》
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9
来自:豆瓣读书
9.5 (42人评价)
作者: SERGE LANG
出版社: 世界图书出版公司
出版年: 2004-11
评语:数学不是从头到尾读下来的,而是按照自己学习的逻辑而来的。数域上代数定义多项式和分析定义多项式是一致的,在环上则不同 。域的单纯扩张的区分在于映射的核 。有限生成代数和多项式代数仅仅是哲学区分而非数学区分。阿贝群和环上模都是属于阿贝(交换)范畴,利用同调代数(箭头理论)处理,它主要涉及的是核与余核(商模),利用snake 引理,得到范畴(同调)维数移动。向量空间作为其自同构的环的模;多项式是群代数的特例。每一个矢量空间都是加法群。希尔伯特基定理源自主理想环上模的定理和自同态分解jordan形式和有限生成交换群的结构定理等价。伽瓦罗定理的困难性是将具体概念抽象(求根理解为扩张,原根与新根的关系理解为变换或者是映射)根转化为根与根的关系表示论,其蕴含了范畴论和函子思想(域结构对应为群结构)而表示论蕴含在范畴论。代数中的滤子的概念本质不在是元素或者是数,而是结构化的对象的组织
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10
来自:豆瓣读书
9.2 (205人评价)
作者: [俄] А. Н. 柯尔莫戈洛夫 / [俄] С. В. 佛明
出版社: 高等教育出版社
出版年: 2006-1
评语:泛函分析是直观的,也是抽象的
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11
来自:豆瓣读书
(1人评价)
作者: Sigurdur Helgason
出版社: American Mathematical Society
出版年: 2000-10-3
评语:半单李群的表示的Harish-Chandra定理:外尔特征和维数公式的推广 https://en.wikipedia.org/wiki/Plancherel_theorem_for_spherical_functions#CITEREFHelgason1984
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12
来自:豆瓣读书
(2人评价)
作者: George W. MacKey
出版社: Addison-Wesley
出版年: 1989-5
评语:调和分析(包括了抽象群表示)本质上提供了本质离散的数论(代数方程)和本质上连续的数学物理(偏微分方程)的统一语言
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13
来自:豆瓣读书
8.1 (94人评价)
作者: M.A.Armstrong
出版社: 人民邮电出版社
出版年: 2010
评语:以多面体的欧拉定理和闭曲面的分类定理为起点,发展了同伦的基本群和单纯复形的同调群理论,提出了拓扑空间和连续映射为基本语言,组合群论(树和权图)为基本工具,得到了闭曲面分类,不动点定理,映射度等拓扑关键定理
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14
来自:豆瓣读书
8.9 (25人评价)
作者: 约斯特
出版社: 世界图书出版公司
出版年: 2008-3
评语:有整体性的观点,证明简洁:曲率张量--雅可比方程--测地线族的变分曲线 雅可比场---流形测地线组成的空间--流形大范围几何。截面曲率决定了曲率张量,Ricci曲率决定了黎曼流形体积元素和欧氏空间的差;The Ginzburg–Landau Functional类比于The Seiberg–Witten Functional。调和映射是测地线的高维非线性类比。联络区分为主丛联络,向量丛联络,流形上联络,还有协变导数定义;度量联络保标量积且增加了结构。杨米尔斯理论是hodge理论的非线性推广,且其度量联络是杨米尔斯方程的解,杨米尔斯是四维黎曼流形而chern-weil泛函是三维类比。狄拉克算子的二维就是柯西黎曼方程。黎曼流形的拉普拉斯算子的特征值和特征函数决定了格林函数和热核。雅可比场是测地线极小化族.度量----联络---曲率
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15
来自:豆瓣读书
(3人评价)
作者: D. S. Freed / K. K. Uhlenbeck
出版社: Springer
出版年: 2012-7-31
评语:关于唐纳森和四维庞加莱猜想
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16
来自:豆瓣读书
8.3 (18人评价)
作者: F.W.瓦内尔
出版社: 科学出版社
出版年: 2008-5
评语:现代数学的成人礼,从场到形式的翻译,从分析到几何的翻译,从向量空间到微分流形,从局部(经典分析)到整体(连通性,极大条件,层)的过渡都是这本书的关键意义。测度和调和分析也都有所详细的介绍但是没有给出一般的结果。群的Maurer-cartan方程式和群的李代数乘法方程是对偶的;第二章李导数,外微分,缩并算子都是外微分形式的导子分别是0阶,一阶,-1阶
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17
来自:豆瓣读书
(1人评价)
作者: William Fulton / Serge Lang
出版社: Springer
出版年: 2010-12-3
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18
来自:豆瓣读书
8.9 (29人评价)
作者: Victor Guillemin / Alan Pollack
出版社: Prentice Hall
出版年: 1974-08-14
评语:整本书推理严谨
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19
来自:豆瓣读书
(1人评价)
作者: Jay Jorgenson / Serge Lang
出版社: Springer
出版年: 2008-10-15
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20
来自:豆瓣读书
(5人评价)
作者: Jürgen Jost
出版社: Springer
出版年: 2010-11-25
评语:关键在于微分方程和几何的联系,狄利克雷问题推广到二次变分问题就是欧拉拉格朗日问题(弱解是正规解必须方程的系数有一定估计)推广到流形的p形式空间上就是hodge定理。正规性确定了显示估计,提供了存在性的解的紧性论证,这样的估计也得到了唯一性。热方程作为更为基本的方程,确定了椭圆方程的热渐进平衡,结合着半群与布朗运动的关系;定性的理解反应扩散方程要求比对纯粹反应方程。perron 方法用下调和函数证明狄利克雷问题解的存在性这个证明基于狄利克雷问题的解可用极值特性来刻画的事实,我们只需证明这种极值特性函数是存在的。布朗运动是空间齐性的马科夫过程
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21
来自:豆瓣读书
9.3 (37人评价)
作者: [法]M.贝尔热 / [法]B.戈斯丢
出版社: 高等教育出版社
出版年: 2009-7
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22
来自:豆瓣读书
(2人评价)
作者: Sigurdur Helgason
出版社: American Mathematical Society
出版年: 2001-1-16
评语:关于李群和嘉当最好的介绍和分析
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23
来自:豆瓣读书
(10人评价)
作者: S.Lang 编
出版社: 世界图书出版公司
出版年: 1997-9
评语:逆函数定理和隐函数定理及常微分方程存在定理都依据完备度量空间的压缩算子性质,其实就是同伦性质.基本的Hilbert 空间的工具是紧致自伴算子的谱定理, 以及通过与一个固定矢量取内积而表示有界线性函数的原理。索伯列夫空间是弱导数空间和勒贝格范数的交接
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24
来自:豆瓣读书
(4人评价)
作者: Steven Rosenberg
出版社: Cambridge University Press
出版年: 1997-1-28
评语:利用微分算子就能研究出拓扑和几何的关系:谱(素理想-极大理想)与原定义域拓扑等价。 黎曼高维流形定理是高斯绝妙定理的推广,都是偏微分方程组可积条件。黎曼曲率张量(高斯曲率)决定了局部几何的全部。里奇曲率是曲率张量的弱化,决定了测地球的体积。
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25
来自:豆瓣读书
(4人评价)
作者: 艾文森
出版社: 世界图书出版公司
出版年: 2010-1
评语:无穷维流形和群表示论关系
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