线性代数学习小议
2009-06-16 14:36:59 来自: 楚天舒(Google on a surface)
结合本人的学习体会，经验，教训，给后来者一些建议。仅供理工科学生参考。
线性代数的教学不少学校都加强了，随便看了一下，有下边一些处理方法，
1。跟空间解析几何结合起来，这是为了加强数，形合作的意识。
2。跟数学建模结合。这是为了增强应用。
我个人觉得这门课其实是理工科本科生数学思维转变的一个关键。有一本书体现类似意思，linear algebra: the gateway to mathematics.
就内容而言，我觉得理论上的一定深度跟应用的处理，计算方法的处理都很重要。所以，我觉得完整的学习应该是三个部分：
1。线性空间的理论（空间，变换）
2。应用，建模
3。计算方法
学习的程序，对于一般理工科学生，可能下面的是合适的，
1 通过向量几何，解方程组等得到感性认识，
2 上升到线性空间抽象理论认识（线性空间的世界是平的）
3 利用同构，同态认识到许多东西内在的同一性即线性的真正内涵，如解代数方程组，线性常微分方程组，傅立叶分析，多项式插值等等。
4 线性代数与多元微积分的统一思考。这点在以前国内工科处理的不太好。最好多元微积分部分的教材应该用线性代数的语言和思维重写。
所以，高等数学的学程下面的安排或许比较自然，
1/2 一元微积分
2/1 空间解析几何
3 线性代数
4 多元微积分
5 线性模型
这是所有理工科学生必备的。
过分强调分析的学习，可能是一个通病。其实分析对于非数学专业的学生用处绝对没有线性代数大。（线性）代数对数学思维的提升，比分析也来得重要。
推荐几本书，
1 Gilbert Strang的线性代数（适合第一遍学习，但其实并不浅）
2 Tao 的讲义（线性空间的理论，深度写得比较适中）
3 Trefethen的书Numerical Linear Algebra。这本书写的非常好，跟Gilbert Strang的书衔接的很好。可作为学习计算法的参考。
4 Halmos - Finite-dimensional Vector Spaces.djvu 理论上比较完备
5 Lay - Linear Algebra and It's Applications 理论和应用处理的比较平衡
6 Hoffmann, Kunze - Linear Algebra 这本书是1970
年代比较老派的处理，据说台湾大学EE用这本书教学。
7 Apostol T.M. Calculus and linear algebra. 这本书是统一处理的处理微积分和线性代数，可不时翻翻。
8 Linear Algebra With Applications W. Keith Nicholson.这本书处理的比较浅显。
9 Bretscher, Linear Algebra with Applications http://math.rwinters
习题集
0。 Gilbert Strang的线性代数书中的习题值得逐一思考。
1。 线性代数题库 台湾晓园。 这本书的习题值得从头到尾看一遍。尤其对于工科学生。
2。 Schaum's Outline of Linear Algebra.by Seymour Lipschutz 这本书张贤科激赏。
3。 Halmos P.R. Linear Algebra Problem Book (Math.Assoc.Am., 1995)这本书蛮有味道的，能提升数学思维的层次。
总的来看，目前对线性代数的处理仍然显得薄弱。比如同济的那本工科线性代数，比较误导人。这本书处理线性代数的层次仍偏重于线性方程组的理论，而且也没有讲清楚。或许作者们怕过分的讲线性空间会让学生难于领受吧。但是作者们又不惧于一上来就讲行列式。最后只能是弄成一锅夹生饭了。
有些书强调解析几何跟线性代数的联系，但是看看目录，发现这联系也建立的比较肤浅，不深入其本质。
钱学森曾说，要看清楚一样理论，必须站在比它高一个层次。对于线性方程组的理论，我看正是如此。IT闻人孟岩写过一篇《理解矩阵》，其中提到不理解矩阵乘法的定义，确实如果不从线性变换的角度来看，是不可能认同矩阵乘法定义的，而这正是历史上Sylvester定义矩阵乘法的根源。矩阵其实是线性变换，而矩阵的乘法其实是变换的结合。而行列式的定义，如果不结合Grassmann的外代数，也无法真正理解。
而所谓线性空间，其内容其实并不丰富，对于向量，只有加法和数乘两种运算。高中学的复数的内涵都比它要丰富。
不过这对我们的思维是一个冲击，我们的处理对象不再仅限于数了。从集合，映射的观点，一切对象都可以作为自变量，通过某种映射，得到新的东西。比如，一个函数的微分，可以描述为线性映射。一个平面点集的仿射变换，也可以描述为线性映射。以前我们的一元实函数的学习像一个人玩一个球的游戏。而到了向量代数的时候，就成了一个人玩n个球的杂技。
学习都是不断渗透的，也就是中国古人说的温故而知新。线性代数值得不断的在应用中回顾，复习，进一步理解。
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