笨男孩的幼小数学教育日记

王永晖

来自: 王永晖 组长
2011-05-05 17:43:53 已编辑

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  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 17:52:55

    2010-08 儿子5岁多一点，能够数数到120，一边数一边拍手，但还没有小他半岁的女孩子们那样特别熟练，平常不愿主动练。 2011-01 儿子6岁，数数到120的时候，反而不如暑假时熟练，容易在进位的地方卡住，因此写下博文，“太好了，儿子变笨了 ”，因为他之所以卡住，是开始用逻辑的力量学数学，而不是用记忆，儿子的记忆力其实很好，但自觉地不用在数学上，这是我高兴的原因。 2011-5 这几个月来，每天都让他意识到一点数学，方法如博文所说，时间都不会很长，20分钟。 现在已经会49到50了，采用的方法是常人之法，意识到4后面是5，9后面是10。 期间，已经告诉他，20就是两个10，30就是三个10，他卡住的时候，意识到这个原始定义，确实会有帮助，能跨过去了。 准备有机会再用橡皮泥进一步加深，九宫格上，每宫放一个泥丸，放满后，再加一个的时候，揉为一个，就是10，接着再揉一个等大的，就有两个10，即为20。 这期间的教学，一个时间段是下午放学之后，主要还是让他玩石子、玩沙子，玩得尽兴了，才学点数数，就用刚才玩的石子。 另一个时间段是睡觉前的游戏，玩多少次，就是数学概念，数得清楚，才能接着玩下一趟。（注：这不叫强迫，叫奖励，孩子自己能分得清的）

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 18:00:02

    另外一个刚开始尝试的做法，超出了目前中国小学数学教育的内容。 Patterns 我叫做点位，即拿3个石子摆到地上，这3个石子的摆法，其实是有很多种的，虽然这很多种都叫3，也就是说，实际上从点位的角度，是有很多个不同的3的。 Patterns在美国小学一年级教学内容中已经有（华德福数学中也有），跟我的定义不完全相同，但我以为实际上就是这么回事，点位。 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=420554&do=blog&id=436960 然后，我在把这些点位，画在纸上的时候，所有这些点都用黑色铅笔，但是一种点位的3，我用一种颜色写，红色的3，对应一种点位，绿色的3，对应一种点位。点位的种类如果超过了4种基本颜色，处理起来其实也很简单，就用夹心颜色，红色在外绿色在内又可以写成一个3。 这么做有什么道理，会对孩子未来的数学能力产生什么影响，我也不知道，但是我愿意这么去做，做过一次，看来孩子也喜欢，能坚持做上几个点位，种类太多，一次全做完不太可能。 这个方向，我感觉应该是可以做的，所以就先做了再说。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 18:05:29

    儿子在算术的过程中，自发地出现过两种创意，正好可以让我接着他的创意，进行训练，现在主要还是其中第一种。 2011-01-a 6=2+4=3+3=.... 有多少种加法的可能，全写出来了。这时候，他其实在数数进位制上还老是不过关呢。 现在5月份开始，就经常利用他这个创意，练习10以内的加法。8也试过了。 这个创意，实际上是数论中著名的Partition问题。 2011-01-b 经常会出现这样的口头计算， 两个2=， 两个3=，两个4=， （实际上就是乘法） 目前只能到两个5，两个6好像就不行了。尚未真正开始练习，因为每天可以学数学的时间就那么点，再长就超过儿子的意志集中力了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 18:25:56

    2011-5 儿子在逻辑方面其实是非常严谨的，两岁多的时候，实际上就掌握八卦的组合原理，能把3个阴阳类项目的所有组合，即8个都写出来。 正是利用了他这一点，我在家教规则上的教育使用了组合数学，比如： 1. 孩子喜欢的事，爸爸妈妈不喜欢，孩子可以强迫爸爸妈妈做吗。 2. 孩子不喜欢的事，爸爸妈妈喜欢，爸爸妈妈可以强迫孩子做吗。 3. 孩子喜欢，爸爸妈妈也喜欢的事。 4. 孩子不喜欢，爸爸妈妈也不喜欢的事。 总共有4种，每次他都能自己分得清楚，在我提示下，自己把这些情况搞出来，然后选择出最佳的。所以，我在那篇真功夫文章里写到，儿童最早的逻辑训练，其实是家教规则的实践。 即使儿子逻辑清楚，现在都6岁多一点了，却一直并不喜欢数数，现在一边拍手一边数数，还是不愿拍到120，愿意拍10个10，其实对于大人来讲，后者更难，因为容易忘了是第几个十，孩子反而能做到，当然最近理智起来，有时候也怀疑自己反而不容易做到，要靠数指头帮助了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 18:38:15

    2011-05 我对孩子“数指头”的理解，儿子现在做加法，还是主要靠数指头。最近玩游戏，碰到一个问题，总共可以玩13次，现在玩了8次，还剩多少次可以玩。 答出来，才能接着玩下去。如果是平时，他根本不会这么辛苦地去想出来，主要还是想玩游戏逼的。 有人可能会说，你这不是强迫孩子么，我觉得凡事不能绝对，这也可以不叫做强迫，相当于奖励啊。这方面的讨论，本帖不再赘述，想要讨论的同事，可以去这个帖子： 【讨论】快乐教育遗失的角落 http://www.douban.com/group/topic/19330739/ 儿子的解法是这样的，一边数指头，一边念(9,1),(10,2),(11,3),(12,4),(13,5)，这样就把答案算出来了，还可以玩5次。 这就是减法。儿子这么做，夫人老在一旁笑话，其实夫人的态度不对，儿子数指头，实际上是靠推理，而不是记忆，他每次做题，哪怕是做过的题，都重新使用一次推理，每次都是从原始定义出发来干，而不像成年人，成年人实际上是记住了很多公知常识，成年人之所以比孩子算得快，主要是如此。 我在那篇真功夫博文里说过，我会让孩子先这么“笨”下去，他练习多了，练够了，将来自然会再动用记忆功能，把这些当作公知常识使用。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 18:46:14

    儿子的表现，其实很复杂，一方面逻辑推理能力实际上是很强的，2岁的时候，讲的话里带着逻辑，其内容让我们数学系团委书记知道，就给弄糊涂了，她是历史系专业的。 另一方面，儿子到现在还不能很流利地数数，可是却又在数学思考上有着一些闪光点，如那几个创意。 如果我不是数学教授，很容易忽略掉这些闪光点。我不知道我当年“笨”的时候，是否也曾经存在过闪光点，不过，我是遇到了个好妈妈，对我很耐心和宽容，起码在数学上从未使用过指责的态度。 所以，笨孩子，如果遇到的父母并不是很懂数学，其实也是有可能后来自己学好的，因为数学最重要的，毕竟还是自学能力，家长和老师教不会，但若使用宽容的态度，让孩子自己学，这样的孩子说不定反而能把数学学出来。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 20:25:34

    很快就通过电邮收到些回复。我先帮他们转过来，希望这些数学家们能够申请个豆瓣帐号，不要光在电邮里讨论。 ------我的本科搭档，现在也是专业从事数学的---------------------------------------------- ^_^,我还没有实践的对象呢! 19之后是20,为什么? 两个10是20, 但为什么19之后是20,我好像也没有想清楚. 如果让我用小石子10个一排,摆两排的话,我可能就知道19之后是20了.如果,没有这个教具,好像不是那么直观. 同意你的观点 1. 对数学的集中注意力，如果是孩子，只要有，肯定就是内发的，孩子不会装假，靠打靠拔苗，是弄不出来这种注意力的。 2. 对数学的敏感度，即知道哪里不懂的能力。 对大人也好像对. -----------------------------------------------------------------------

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-05 20:29:09

    『为什么19之后是20』 是的，真要去想说清楚的话，我觉得很多大学本科生不见的能说清楚。关键就是要说明白20的原始定义是两个10，很多普通人会忽略这一点，从小到大混熟了也就背会了。 你的摆法，说穿了也就是这一点。 所以，有时候小孩子“笨”，可能不是智商问题，反而是他有直觉，他可能自己说不清楚，被自己的直觉卡住了，我觉得，大人此时要做的其实很简单，一是要宽容要等待，二是要帮助他把那些符号的原始定义讲清楚就行。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 00:00:42

    说说我自己的情况。 最开始1～9的数字是存心教的，英语汉语基本上同时吧，因为当时是两种语言同时在用。 后来英语比较顺溜了，开始强调汉语的时候，教了数到100，但当时主要是从练习汉语的角度，因为汉语数数在不停地重复数字。 数数汉语比英语简单些，总共就十个新词。19之后是20的概念，孩子现在还在琢磨着，有时候进位很顺利，有时候就卡一下，要来问我。她一般在60或者70之后卡，所以不知道是记不住，还是概念还混淆着。 但英语比较讨厌，1～20就是20个新词了，之后还有8～9个新词，所以她的英语数数到20有时候中间还会漏或者错，20以后反而只在进位的时候偶尔卡。 三四岁的时候我比较留意大小，多少，零的概念，因为这些是教学大纲上面规定的指标。虽然孩子回答问题时不一定百分之百正确，但观察她在日常生活中的运用，例如分吃的，可以发现她明确有了这些概念，所以也算达标了。 加法从来没有教过。有一次读书的时候，当时也是在学汉语，讲一个马家庭，大马小马白马黑马的，故事就结束了。听完后孩子自己告诉我，马家庭一共有多少成员。我变了几个条件，总数都是对的。之后就没有再深入。这个我估计是她曾经算过家里有哪些人，所以就推演到马上面了。因为幼儿园曾经有专门的主题月小朋友介绍家庭成员，强调家庭观念。每个小朋友都来一遍，有的有兄弟姐妹，有的有祖父母，有的还算上宠物，所以条件也挺复杂的。 还有一次，是出去玩，每天给5块零花，可是小家伙有一天要的东西是10块。我们就说10块等于两天的零花钱，孩子就记住了5+5等于10。当时正好也在走路，就跟她算加法玩，发现她自己把手指头伸出来算加法，十以内的没有问题，但大于十，例如5+6就开始糊涂了。也是到此就为止了。 最近有一次，开始有些新的萌芽。我们出去玩领了一些小东西，弟弟一份，姐姐一份，后来都是我帮忙拿着，回到家之后，姐姐又要玩，就要分开。8个东西，姐姐最后分了每人4个。后来东西丢了一个，只有7个了，姐姐就分了3+4，告诉我少了一个。 关于pattern，在音乐上需要这个概念，所以从音乐角度学过。但现在还不能说掌握了，只能说接触过这个概念。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 00:07:13

    我目前的状态如上，可以看出来，绝大部分都是观察，而基本没有引导。所以我希望能了解一下可以如何引导。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 00:19:40

    对了还有减法，孩子用过，但不是按减法的概念用的，所以我没算进来。 去老师家学琴，每次可以拿小贴纸，每拿满8个小贴纸可以换一颗糖，按老师发的表格计数。有时候孩子就会自己要求，我这次希望拿几个小贴纸，然后我们对着本子一看，原来刚好拿这个数目的贴纸就够一颗糖了。 曾经还发生过，老师说可以拿四张，孩子说，不，我要三张。 这个概念我觉得不算减法，因为她是数空着的小格子得出来的，我的理解对吗？

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 01:20:42

    『所以我希望能了解一下可以如何引导。』 女孩子一般都比较聪明，好像不需要操心，我觉得多玩石子，就是学数学。 『老师说可以拿四张，孩子说，不，我要三张。』 这应该是知足者常乐的精神，很多小孩子身上反倒有，够了就行了，坚决地不想多要，你想多给都不行。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 02:19:49

    上面那个小贴纸，王老师帮忙看看，能不能引入减法的概念了？ 还是本来加减法就是一个概念，我有点糊涂了。 5+3 = 8。 我已经有5个了，所以我还需要3个，这个逻辑根本就是加法的逻辑吧。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 02:31:02

    现在孩子接触到的很多概念，可以在生活中再现出来，所以有自己去发现的机会。 但到了一定阶段，必然会发展到概念高于日常生活的，这个时候必然需要设计实验。王老师能不能具体写一下你的体验。我在这方面的经验太消极了，基本没有可操作性。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 04:39:23

    我的体验，都写在第一楼那几篇博文里了，目前再没什么大的可讲了。 不知我的同事们看到这个帖子，是否会露面出来说几句。 关于减法，还有“自己去发现的机会”，我博文里介绍的观点就是，家长/教师所需要做的只是，将孩子本来具有的认识，跟这个世界通用的数学符号联系在一起就行。 比如说，8个少一个是7，或者数数的时候，8的前面是7，这个事实孩子能很清楚的知道，我的做法就是，告诉他数学界通用的记号而已，告诉他，这就叫做8-1=7。 还有前面的那个例子，20的含义，就是两个10，要把这个20的符号定义告诉孩子，所以，当我发现我儿子长大了后，与去年夏天相比，反而算不过去39到40，觉得其实是好事，说明他开始不使用记忆，而使用逻辑了。 大人在孩子逻辑推理的时候，不必要越俎代庖，给予过多的帮助，我的原则就是，只提供数学符号跟他的本有认知之间的对应。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 05:01:53

    我明白了，我现在除了0～9的写法，还完全没有引入数学符号。目前只到了概念这一层，还没有涉及抽象表达。 其实20是两个10这个概念，把英语放过来垫底很方便的。英语实在太麻烦了，对比之下，学汉语就容易多了。我们家的体验，数数这方面是汉语先明白概念，英语再跟上翻译的。 另外，国内对5岁孩子的教学大纲是如何要求的？这里只要求数到12就算正常了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 13:41:11

    我感觉夸子好像还没太重视我那篇博文中的理念，江老师下面一段话，意思跟我的类似，不过是从传统文化角度讲的。 ----江老师-----自守表示的顶尖高手--只写姓没写名--数论界都知道是指的谁------ Hi, It is an interesting topic. I think it is more important for a kind to gain 悟性， which is more important than 知识。知识不是力量。 知识只有通过有悟性的人才能变成力量。 The current education in China is confusing at this key point. Our tradition and culture originally paid a lot of attention to 悟性. However, people did not put their 悟性 to the right places, say Science, so we have been so behind in Science. This is what I thought. I hope it makes sense to you. ------------------------------------------------------------------------------------------

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 13:45:22

    『国内对5岁孩子的教学大纲是如何要求的？这里只要求数到12就算正常了。』 我感觉夸子好像还没太重视我那篇博文中的理念，我的意思是，我不能管大纲，因为即使按照美国大纲的话，我小时候就是个笨蛋，因为我5岁的时候，数数还数不过3。 我觉得夸子主要还是从知识角度来说话的，我则比较希望挖掘出幼小数学教育中的创意，即，江老师所说的“悟性”。 小学算术就那么点东西，孩子总是会学会的，或早或晚而已，为什么我要关注自己儿子的这个进程，写下日记，主要还是想记录下孩子在这个进程中显示出的创意，免得自己以后忘了。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-06 14:24:44

    我比较重概念轻抽象符号的原因是，想把符号留给老师课堂上教。 我曾经修过一门教学的课，把教学分为四个步骤：第一，经验，第二解释，第三抽象，第四运用。 一般的老师第三和第四做的不错，但第一第二步比较弱。所以我现在就侧重在第一二步上。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 15:03:07

    是，我把第二步解释，就算做符号对应，即将孩子自己从经验中总结出来的语言，翻译成数学通用符号。 我觉得，很可能是不少大人忽视了这一步，以为自己懂得习以为常的符号，小孩子也该懂。就比如我举的那些例子，如果只说20（二十），孩子只是记住这个名词而已，不明白它的含义，其实是两个10。 我的观念是，大人要把握住哪些是大人能做的，应该做的，而把剩下的那部分，交给孩子自己处理。比如，概念理解，我是不管的，只有孩子已经自己产生了类似的数学概念，我才会去管，怎么管，帮他翻译成人类数学界通用的符号而已。 至于这个概念本身，我想我是不应该，也没这个能力帮他建起来的，我坚信，他之所以能自己建立起来，是因为本性具足，一个大猩猩，我是如论如何教不会他数学的。 当然，这只是我的观点，我的一位老师并不同意我这种看法，认为科学依据不足，电邮里跟我争论了很多，不过，我已经在自己儿子的现实教育中屡次发现和实践了这个，所以对于我个人实践来说，有没有心理学上的充足实验依据，就不是很重要。

  • 胖猫一只

    胖猫一只 2011-05-06 16:44:58

    看了很受益。 请教一个问题，如果父母自己都不懂数学原理，比如说我，我就不明白20的含义是两个10.。。。。超级汗啊。（所以说中国教育失败呢，我就是典型例子）。这种情况下，怎么帮助孩子呢？是不是管得越少越好？还是自己去买本数学原理的书从头开始学？

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 18:13:02

    『是不是管得越少越好？』 我觉得是，是指管数学越少越好，即使是父母懂点数学的，也应该朝这个方向走。因为，数学能力中最重要的还是自学能力，这个可以已经说是颠扑不破的真理了。 『还是自己去买本数学原理的书从头开始学？』 小学数学还好，我们要知道，孩子总有一天都会超过我们的。关键还是看个人目标了，如果是立志培养个数学家，看必要的书籍是应该的，道理跟小孩子学音乐一样，那些父母们自己就要研究音乐。 如果目的性不是很强，我觉得倒未必，我的文章中有个观点，小孩子最早的逻辑训练，是家教规则方面的实践，所以，最重要的还是家教规则，让小孩子接触到“真实自然”的逻辑，这是我心目中最理想的家教规则实践。 有了这个基础，小孩子的逻辑思维能力是正常发展的，我觉得将来学数学不会有多大问题。现在我感觉到，有些家庭喜欢使用骗人、吓人的方法教育孩子，不说那些情商上的危害，光是逻辑推理能力方面，肯定会让小孩子扭曲的。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-06 20:25:52

    资料：孩子学习不主动只因家长太主动 http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b22408e010006rx.html 王金战在中国数学中小学教育方面已经是很有名了，我们讨论班的一位北大博士，中科院做完博士后，就去他那教奥数了。这位博士，数学才华比我要高好多，中国的人才竞争压力实在是太大了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-07 03:35:18

    江迪华老师同意我在这个帖子里公布他的姓名，他是明尼苏达大学双子城分校的数学教授，在北京做过的几次学术演讲引人入胜。 他建议我翻译一下他的文字，因为他时间比较忙，打中文字会比较慢，我记得他曾经说过，他在美国呆了很多年后，第一次回中国的时候，感觉中文都不太容易说出来，过了几天才适应。 --------------------------------------------------------------------------------------- Hi, It is an interesting topic. （这是一个有意思的话题） I think it is more important for a kind to gain 悟性， which is more important than 知识。知识不是力量。 知识只有通过有悟性的人才能变成力量。 （我认为更重要的是让孩子获得悟性，悟性比知识更重要，知识不是力量。 知识只有通过有悟性的人才能变成力量。） The current education in China is confusing at this key point. Our tradition and culture originally paid a lot of attention to 悟性. However, people did not put their 悟性 to the right places, say Science, so we have been so behind in Science. （中国当前的教育在这一关键点上犯迷糊了，我们的历史文化原本是非常注重“悟性”的。但是，大家没有把悟性放到正确的地方，比如说科学，结果我们在科学发展上大大的落后了。） This is what I thought. I hope it makes sense to you. 如是我见，供您参考。 ------------------------------------------------------------------------------

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-07 03:49:45

    江老师的说法，我在我那篇博文中是用另外两个名词来讲，就是“创意”和“练习”，这两个概念，是一对矛盾，或曰阴阳，不仅在数学教育方面，在很多其他学科，似乎也屡次出现。 我咨询书法教学时候的书法界专家，也是分为创意派和练习派两大阵营。 所以，我的文章采取的态度是，二者不能偏执一段，应该综合兼练，具体到我儿子上，基本上都是先满足孩子的创意，然后就可以接着使用孩子自发产生的创意，展开练习。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-07 04:49:04

    蒋迅老师给我发的，我先替他贴到这儿，包括我给他的回复 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=420554 他的科学网博客上，已经有很多非常好的数学科普。 ------------------蒋迅------------------------------------------------------ 给你儿子出两个题： 1. 拿一把火柴，撒开。问他有多少根。 2. 问他：G + 2 = ？（如果他知道英文字母的话） ------------------------------------------------------------------------------- 第一道，他应该没多大问题，而且我这样做的时候，会强调第一遍只能看着说出数，然后第二遍再用手指头一个个数，验证第一遍是否正确。 第二道，不是很明白您的意思，现在主要还是培养他对数学的态度，每天有点那个意思，估计他的基因还是随我，我小时候一学数学，就打瞌睡。 我当年求学的时候，碰见几位老师的孩子，也喜欢给他们出题，记忆最深的是，出了到中国移动的全球通和神州行，如何选择更划算的问题，那个男孩当时最多是小学一年级吧，我印象中甚至还没有上，跟他把题意解释清楚之后，我们大人就开始上讨论班了，他自己在那算，没想到竟然叫他给做出来了，本质上应该是我们那时候小学高年级的追击问题。 我和他爸爸都感觉很惊讶，他爸爸也极为惊讶，没想到自己儿子会这么聪明，然后一看他的方法，确实没到小学高年级算法的那个程度，他就用笨办法，列举法做出来的，实在让我们叹服，起码坐在那里算了一个小时吧。 我记得好像自己因此输给他两块钱。 所以，小孩子还是应该学习的，你不给他点难度，还真不知道他的潜力有多大。当然，也要有环境，那个时候，这个男孩没事干，只能做题，如果旁边有电视或游戏机的话，估计他就不会花这么大功夫了。 这个帖子的题目，有性别色彩，叫男孩，就是我屡次感觉到，现在的男孩，在教学竞争中处于劣势地位，教学方法乃至考试，不是特别适合男孩。 我请过一位民间教育家到首师大演讲，她本人是北大本科，Rutgers大学教育硕士，底下交流时，就老对她儿子的数学水准打嘀咕，可是经过交流后，我感觉到，虽然她在中国民间教育界已经非常有名气了，但是说起到男孩子的数学教育，她没有抓住教学要点。 所以，如果教学方法不合适，很可能这些男孩子的表现，就是“笨”字了得，估计我们有一堆的“笨男孩”，我算是其中一个，这个帖子就是为这类孩子开的。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-07 04:52:47

    蒋迅老师给我发的，我先替他贴到这儿，包括我给他的回复 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=420554 他的科学网博客上，已经有很多非常好的数学科普。 ------------------蒋迅------------------------------------------------------ 给你儿子出两个题： 1. 拿一把火柴，撒开。问他有多少根。 2. 问他：G + 2 = ？（如果他知道英文字母的话） ------------------------------------------------------------------------------- 第一道，他应该没多大问题，而且我这样做的时候，会强调第一遍只能看着说出数，然后第二遍再用手指头一个个数，验证第一遍是否正确。 不过，我不使用火柴，更多的是使用石子，因为石子的摆放，更容易体现出“点位”的思想。 第二道，不是很明白蒋老师的意思，我现在主要还是培养儿子对数学的态度，每天有点那个意思，估计他的基因还是随我，我小时候一学数学，就打瞌睡。 我当年求学的时候，碰见几位老师的孩子，也喜欢给他们出题，记忆最深的是，出了道中国移动的全球通和神州行，如何选择更划算的问题，那个男孩当时最多是小学一年级吧，我印象中甚至还没有上，跟他把题意解释清楚之后，我们大人就开始上讨论班了，他自己在那算，没想到竟然叫他给做出来了，本质上应该是我们80年代小学高年级的追击问题。 我和他爸爸都感觉很惊讶，他爸爸没想到自己儿子会这么聪明，然后一看他的方法，确实没到小学高年级算法的那个程度，他就用笨办法，列举法做出来的，实在让我们叹服，起码坐在那里算了一个小时吧。 我记得好像自己因此输给他两块钱。 所以，小孩子还是应该学习的，你不给他点难度，还真不知道他的潜力有多大。当然，也要有环境，那个时候，这个男孩没事干，只能做题，如果旁边有电视或游戏机的话，估计他就不会花这么大功夫了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-07 04:52:57

    这个帖子的题目，有性别色彩，叫男孩，就是我屡次感觉到，现在的男孩，在教学竞争中处于劣势地位，教学方法乃至考试，不是特别适合男孩。 我请过一位民间教育家到首师大演讲，她本人是北大本科，Rutgers大学教育硕士，底下交流时，就老对她儿子的数学水准打嘀咕，可是经过交流后，我感觉到，虽然她在中国民间教育界已经非常有名气了，但是说起到男孩子的数学教育，她没有抓住教学要点。 所以，如果教学方法不合适，很可能这些男孩子的表现，就是“笨”字了得，估计我们有一堆的“笨男孩”，我算是其中一个，这个帖子就是为这类孩子开的。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-08 14:59:19

    2011-05-08 儿子更像个应用数学家，不喜欢单纯的数数，平常若要让他数到120会很难。 但是，他会在上台阶的时候，喜欢数台阶，驻地平常经过的地方，有个很长的台阶，他愿意数，有83阶，昨天更是在讲恐龙故事的时候，经过那个台阶，要做破甲弹去攻击毁灭恐龙的小行星，说数一个台阶就做出一个破甲弹，本来毫无联系的事，儿子却数的津津有味。 儿子虽然对数数在畏难情绪，但是还是有一些时候，他会自发地数数的，比如今天早上，他自己像往常一样画恐龙，突然增加了一个新的创意，把每个恐龙的高度测量标志出来，测量的方法就是用铅笔墩点。 当然，他的恐龙大百科以及恐龙扑克牌上，确实都标注过这方面的参数，大人一般没太注意，没想到最后被他用到这里。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-08 15:00:55

    2011-05-08 儿子更像个应用数学家，不喜欢单纯的数数，平常若要让他数到120会很难。 但是，他会在上台阶的时候，喜欢数台阶，驻地平常经过的地方，有个很长的台阶，他愿意数，有83阶，昨天更是在讲恐龙故事的时候，经过那个台阶，要做破甲弹去攻击毁灭恐龙的小行星，说数一个台阶就做出一个破甲弹，本来毫无联系的事，儿子却数的津津有味。 儿子虽然对数数有畏难情绪，但是还是有一些时候，他会自发地数数的，比如今天早上，他自己像往常一样画恐龙，突然增加了一个新的创意，把每个恐龙的高度测量标志出来，测量的方法就是用铅笔墩点。 当然，他的恐龙大百科以及恐龙扑克牌上，确实都标注过这方面的参数，大人一般没太注意，没想到最后被他用到这里。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-09 22:50:38

    记录一下，这几天临睡前，孩子偶尔会跑来跟我玩“算术”。——这个词我怀疑是跟米奇妙妙屋学的。 1+1，1+2，加到1+6就下不去了。 换过来，1+1，2+1，3+1，加了一会，自己发现规律了，可以一直加到20以后， 1+1，2+2，3+3，可以加到10+10，她自己怎么算的我完全不知道。因为她可以算6+6，但不能算1+6。 目前还没发现2+3跟3+2是一回事。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-09 23:16:49

    等有机会，我试试蒋老师那两道题。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-10 02:13:09

    1+6算不出来，是因为一只手只有5个指头。 我先等等，看小家伙怎么突破这个难点。 另一方面，可以帮她开始准备计算的工具了。本来打算买一套蒙氏的教具。后来一想，王老师一向推崇石头，正好小家伙也很喜欢石头。干脆收集一套石头给她玩好了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-10 03:04:47

    『干脆收集一套石头给她玩好了』 国外条件好太多了，家里有小花园，石子可以按麻袋来买，铺到房子边上，我现在租住的房子就是这样。 出去旅游的时候，会有石头精品，收集起来会很不错。 我现在除了石头，有时候还会用橡皮泥。 不过，我主要还是担心孩子下学期就上小学，害怕赶不上趟，如果孩子本来就挺聪明的，似乎不用在数学上过多操心，算不出来就算不出来，主要还是要培养孩子“自学”的态度。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-10 03:14:11

    我的同学反映，她在加拿大多伦多，大儿子送到蒙特梭利，讲，使用蒙特梭利教具的孩子，一些家长反映离开教具就不会算数了。 如此看来，还是手指头最好，不可能离开的。 她对蒙特梭利的评价非常低，她也是理科女生，善于分析，所以我会相信她的判断。 我对蒙特梭利教具从来没有使用过，主要是我没把孩子学数学，当作一个太大的事。 我很奇怪，蒙特梭利教具那么枯燥，怎么蒙特梭利幼儿园的报道都是，会让小孩子非常喜欢地专注地玩很长时间。 我是赞成使用天然教具的，反对蒙特梭利制作教具的那套哲学说法，即，去除天然教具中那些丰富信息，只剩下最关键的教学信息，人为地替孩子们渡过抽象化这一环节。 一是把孩子想的太弱了，二是天然教具的丰富信息，是有助于儿童大脑发育的。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-10 03:43:13

    我曾经参观过一些蒙氏学校的东西。印象中有一个教具，对十进制有比较好的体现，而且比较特殊，别的玩具/教具中都没见过类似。对于小家伙现在遇到的坎，针对性很好。 但后来想到，反正夏天到了，户外活动很多，不如结合起来收集石头，并不费很多事。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-10 16:25:56

    『别的玩具/教具中都没见过类似。对于小家伙现在遇到的坎，针对性很好。 』 我觉得这就反应出一个观念问题，孩子遇到坎，是在大人帮助下度过，还是让他自己把坎迈过去。 我当然是支持以后者为主的，有些孩子笨，大人怎么教都不会，其实有可能是好事，会让他自己学出来，当然，前提还是“态度”，态度上不能放弃，具体的知识让他自己迈。 我估计，任何一个把教具或教法弄得特别精巧的做法，实际上是第一种范畴。不管是蒙特梭利还是华德福的老师，其实都有这种倾向，我感觉没必要。当然，如果目标是做商业培训就不一样了，培训上讲太简单的东西，卖不出价钱，就得讲花哨的。 如果一定要使用精巧的教具和教法，才能教数学的话，我想知道这么教出来的效果，如果差异特别大，并且背后真的包含了一些传统知识不具有的内涵，如前述的Pattern（点位），我才会考虑跟进。 所以，我在自己儿子身上，只使用最简单的天然教具，使用他自己想出来的创意进行后续练习。只是在人类数学通用符号的解释上，帮他一把，这个数学定义不告诉他，肯定是不行的。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-10 22:03:27

    『孩子遇到坎，是在大人帮助下度过，还是让他自己把坎迈过去。 』 我是两者皆用。给孩子自己迈坎的机会和时间，但如果他困在某处很长时间，而且很苦恼的话，我是会选择点一下的。 例如，1+6，非常明显是困在了工具上面，手指头只有五个。当然突破工具限制的机会，需要留给孩子，所以我前面说，“先等等看，看小家伙怎么突破这个难点”。另一方面，能完成这个突破的条件，是随手可用的多于5”的同类物品。所以，可以不直接教，但条件需要创造出来。——能造出轮子的世界里，圆形必须是一种存在。 至于具体的教具，我不太介意是自然的还是人设计的。能最好的满足我的需求，就行。例如，如果现在是冬季，我可能就直接买教具了，因为去收集数目很多的同类物品比较麻烦；现在是夏季，而且小家伙对石头非常有兴趣，我就会选择收集石头。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-10 22:15:27

    昨天问小家伙： A+2 = ？ 小家伙先是问了我好几遍，确认了我说的是A，而不是其他数字；然后想了一会，告诉我，等于3，因为A也是1。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-05-10 22:27:38

    昨天还要玩算术的游戏。但小家伙不想回答问题了，她要提问。 1+1，2+2，4+4，8+8，16+16.，100+100，200+200，400+400，800+800，1600+1600，之后就是没有规律的各种数字了。 轮到我问的时候，她特意申明，不能用太大的数字，因为她不会。所以还是前几天的套数，但只玩了一点，她就没兴趣了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-11 16:41:10

    资料：http://blog.csdn.net/xxxl/archive/2009/06/24/4293265.aspx 『在其记忆中，第一次强烈的自我改变发生在十岁时。那一年，李嘉诚升入初中，在没有任何人的提醒下，他突然意识到了自己对家庭的责任。这让他一改往日的贪玩，开始发奋，每晚主动背书、默写。这种一夜之间的改变甚至曾令其父不解。』 这就是中国传统文化非常注重的一个词“悟”，可能比较接近于教学过程中的“创意”阶段，但还不完全一样，更深入得多。 这种现象是真实存在的，Paul Harmos在他的传记《我要做个数学家》里也写过类似的事情，微积分他学了一年都学不会，突然在某天产生悟性，在黑板上写来写去，全学会了。 另外，李嘉诚这篇文章还讲， 『多数时候，李嘉诚每天六点下班，回家后，除了拨打越洋电话，他还有必修功课：夜晚的阅读。除小说外，他广泛涉猎各种书籍，并每阶段设定一个主题(最近的主题是宗教)。这个工作都意味着一点：他最大的恐惧在于不愿错过见证世界的变化。』 再一次证明，教育领域中强调阅读，已经成为共识。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-05-16 17:54:36

    今天是儿子的VIK Day, （Very Important Kids），一般都是跟生日相结合，但是因为我们去年9月才来到匈牙利这个幼儿园，英语不过关，老师特意往后推了几个月。 这个幼儿园的做法，挺有意思的，生日和VIK Day上，不是过生日的人收礼物，相反，是过生日的人，给每个小朋友送礼物，包装好。 儿子送的是本子、蜡笔，共15份，以及8个Lucky Presents（幸运礼物）,一小段彩色纸卷， 不是所有小朋友能得到，外包装上做了记号，Happy Mouth（笑嘴），儿子送的时候，自己能分清。 我很惊讶，因为儿子送的都是学习用品，不禁感叹潜移默化的力量。 我现在知道儿子比我聪明，但是在数学上也不是什么天才，所以数学知识上没有侧重，主要是让他有个意识，形成一个态度。 通过VIK Day选礼物，看来儿子的态度是开始建设起来了，才6岁。 像我们这样的中国人，中国孩子有很多，这样子做下去，中华民族怎么可能不强大。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-06-20 16:56:38

    数学教学目前总共使用如下几种： 1. 拍手数数，平时还是不爱拍，最近情况有所改善。前天去玩具店，看到玩具想买，但自己没钱了，主动要求拍手数数来挣钱，拍了十几轮120下，一轮是从1拍到120，最后几轮，还改变了简单的拍法，加进了2节奏和3节奏的拍法，2节奏是在身体的两个地方，按奇偶数来拍，3节奏就是找3个地方轮次拍。 要是以往，可能最多拍4轮就放弃了，这次是第一次坚持下来目标轮数，拿下钱买到了东西。也因此跟他说，以后平时就要这样攒钱，不能够再到买东西前才在商店攒钱了。就是这样一步步诱惑，把他给引过来。 之所以用这个作为物质奖励，考虑到拍手数数还是比较简单的体力操作，符合物质奖励的原则 http://www.douban.com/group/topic/17317987/ 2. 点位×分拆数 点位就是同样一个数，比如3，但是3个点的放法其实是有好几种的，我称之为点位，跟前面介绍过的Pattern应该是有很大关系。 分拆数，6可以写作几个数之和，把所有可能写出来，这个玩法也是儿子自己想出来的，其实是一个非常著名的数论问题。 儿子在玩的时候，我们发现可以把它们结合在一起来做。因为分拆的加法，是可以用点位图大致的表示的。 我原先想把点位图制成卡片，还没做太多。 3. 地图游戏，跟市面上卖的很像，不过地图是由自己来画，填上顺序数字，然后用筛子两个人玩，地图中有些站，还可以跳，或者就是陷阱）。这种也是儿子说是自己发明的，但跟市面上玩法完全一样，儿子又说不是从幼儿园学来的，也有可能人类的思维是共同的，能够重复发现前人之路。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-06-20 17:15:44

    儿子现在会主动地写数字，比如制作地图游戏的时候，但是他经常会把数字写反，如3，6，都是左右对称型的反过来，甚至2也会写反。 为了不打扰他的思考，就没有纠正他，让他先顺畅地把游戏做完再说。以后可以在点位教学，或者形线画教学的时候再纠正他一下。 这种现象，是该年龄段的一个特有现象，不知道是否有何更深入的教育意义。我准备 一是在点位教学时，把点位图画成扑克牌，标注数字时候纠正他。 二是，形线画教学的时候，画点对称型的形线画，比如3的左右对称型形线画就可以是好多种，最基本的如蝴蝶型。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-06-21 19:58:16

    ----------------一个大三的本科生电邮给我的，我替她先贴到这里--------------------------- 关于小孩数数，我想说一说~ 前些天看到一本《小学数学知识手册》，教一年级小孩数数，在说到11~20各数时，用的就是“十几是由1个十和几个一组成的”。是先建立了位数的概念（“从右边起，第一位是个位，第二位是十位”），再进一步地认识11~20各数的写法（“有几个十就在十位上写几，有几个1就在个位上写几”）。而这样的记数规则是由十进制决定的：逢十进一，用0,1,2，…，9十个数字与位置值相结合写出一切自然数。这些知识都是现在才学到的，我已经不记得自己当初是怎么接受10以上的数数问题了。 印象中小学过得很快乐，一二年级都不怎么学知识，大多是老师带着我们玩，玩够了再学。印象最深的是当时数学老师带我们打算盘。 算盘简介可以看看百度百科： http://baike.baidu.com/view/18627.htm#8 我当时打算盘也说不上考虑什么逻辑、进位的知识，好像是机械地记住了那些数值，自己心里面算一遍，然后算盘拨出来。有时候和爸爸在家比赛打算盘，总是爸爸算得又准又快，进位（上下拨子、左边进位拨子）的时候也比我顺畅很多。和爸爸交流打算盘的经验，也发现爸爸打算盘时是靠进位的思想拨子的，而我是纯心算再拨子（相当于只是用算子把数摆出来）。现在想来，打算盘的好处就是让我的心算能力还算有点提高，但小时候还是没有真正理解算盘的进位思想；爸爸当时比我打得快，极有可能是因为他小时候上学专门学过算盘口诀，本科又学了四年数学，逻辑思维比我好，运算能力也比我强很多，充分发挥了进位制在打算盘时的优势。算盘作为计算器的“老祖宗”，对幼儿的心算能力、数学思维发展肯定有一些帮助。 所以我想，在教小孩数数的时候，可不可以先不要明确地说“位数”的概念，改成先教孩子打算盘？随着年龄的增长，孩子对数的认识也会逐渐深入，自然而然地就能学会数多位数，不用老师再过多强调了。 -------------------------------------------------------------------------------------------------

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-06-21 20:03:36

    这位同学的学数学过程，跟我完全相同，我小时候也是那么打算盘的。 这个事实已经证明，算盘不是小孩子学数学的必须工具。最基础的，还是数字运算。 她可能没看到我刚在一楼写的一个付注： Stage 1. 孩子学习数学，每次都从原始定义出发，没有意识到可以借助于记忆力，即使孩子本人在其他方面的记忆力很好，这就是“笨”，值得保护，如果孩子还小，勿须拔苗助长，多此一举地去提醒他们动用记忆力。 Stage 2. 孩子们开始意识到可以在数学中使用公知常识，即记忆力。看来，这是个分水岭，上小学后应该就会有这方面的基本要求了。 我觉得算盘不是关键，关键在于这个分水岭，大人不要过早地帮助孩子跨过这个分水岭，如果没有学校节奏催着，我的观点是，孩子爱呆到Stage1多久，就让他呆多久。 哪怕他做的是，在成年人看来很笨的运算方法。算盘，其实是古代成年人使用的高阶工具，挪到现代的小孩子身上，恐怕存疑，我给自己儿子使用的数学教具，就是石子和橡皮泥，再就是彩色铅笔和纸了。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-06-21 23:57:32

    我非常赞同尽可能呆在这个stage 1的观点。实际上，我也担心孩子进入了正规的学校教育后，会人为地打断这个进程。 在stage 1的时候，我一般不会给孩子答案，只是对孩子进行试探性引导，然后对她的答案反馈正误。这样，哪怕是很快就运用记忆的孩子也需要找出其中的规律才能理解。因为有些内容我不教，但幼儿园有可能会教，只是我确定这个幼儿园就算教，也是涉猎性质，点到为止的。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-06-22 03:08:58

    哦，我儿子上的幼儿园，都不教数学。你女儿很聪明，你倒是将来可以关注一下你儿子。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-06-22 04:57:20

    这个年纪的评估指标有一项，就是能数到20，这个表老师填一份，家长填一份，所以老师肯定是要教孩子数到20的。这个我肯定没有教过，我只教到过10。 我女儿学汉语数数确实很快，但英语数数其实很慢。我记得我填表测试的时候，她这项刚刚达标。也不能算语言问题，她英语实际上算第一语。所以我并不觉得她聪明，以她的个性，吃亏的地方很多。不过傻人有傻福，节奏慢一点反而容易踏实一些。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-06-28 17:05:48

    -------------亲亲妙呜说:---------------------------- | 王老师： | 看了您关于华德福的论述，其中提到关于数学学习的内容让我很感兴趣。 | 我从小对数学缺乏兴趣，对您提的从简单到复杂，从局部到整体的枯燥中学得的数学望而却步。而今，而立之年的我重拾自我，想再学习数学。能不能推荐数学启蒙之类的书籍以供学习？ | PS:看了《与数学真实相遇》（华德福的数学教学类书），还是感受不到数学的基础和兴趣所在。 | 万分感谢。 | | 亲亲妙呜 -------------------------------------------------------------------- 亲亲妙呜，你好， 数学科普很不容易，至少我当年做学生的时候一本也没读下去过，都是学完了相关知识，翻过来看那些数学科普书才能看懂，当时，只有正二八经的教科书我才能读下去。 你可以看一下数学家/科学家传记，现在已经有很多翻译过来的了，如希尔伯特传，我的大脑敞开了，。。。我当年很喜欢看这类书，没有多少数学公式，能看得懂。 我觉得，关键是养成一种理性的抽象思维方式，历史和传记这类书籍，其实也是理性思维，只不过没有数学语言在里面而已。 祝好！ 永晖

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-02 03:08:21

    -----------资料：“黄武雄教授演讲及其回响”----------------------------------- ----------台湾数学家黄武雄的儿子在14岁的时候幡然顿悟的故事------------------------- 黄武雄：一个人最重要的，是要真正沉浸在某件事里，而且要专注、投入 我写《学校在窗外》，慢慢在理清一些东西。人进到学校受教育有很多东西要学，像家长对孩子不放心、老师对学生不放心，就是因为觉得“怎么这个东西你到现在还不懂？”我后来慢慢想通，其实人不需要懂那么多东西，也许有人会问“你不是一天到晚在提倡通识教育吗，怎么又说人不需要懂很多？”。我的看法正好相反。我现在带我十五岁的儿子，我比较成熟了，知道怎么带他，基本上我给他完全的自由。他到小三时还不会写国字，我都笑他“文盲”，他一天到晚鬼混，没事接触一些杂书，一直没受过良好的中文训练，但到国中二年级时，已能写出很有特色的小说。虽然他的语汇不够丰富，但文字的感觉很浓烈。到他十四岁有一天看到陈俊全、李莹英访问姚鸿泽的那篇访问稿，内容谈得非常不错。他看完后，一个下午都不讲话。隔一段时间后，他又看爱因斯坦的传记。有一天，他跟我说：“爸爸，我现在很想自学，想好好把一些东西学下来，一个人要很厉害，一定要好好专注在一件事上。”然后他就自己开始读书了。他原来成绩落后很多，最近突然进步很快，从小我看他长大，觉得他不算是特别聪明的孩子。一个人最重要的，是要真正沉浸在某件事里，而且要专注、投入。一个人一生一定要有几次这样的经验，废寝忘食，真正对某件事情热情而完全投入，在学习的过程是这样，在研究的过程也是这样。可是我们的教育环境没有机会让孩子培养热情让他专注，我想我们太急着让孩子什么都学会，我总觉得人先要有机会能在某方面热情投入，他才会成熟。比如说刚才讲的，我过去对代数一窍不通，但是大一真正想了解时，可以花两个礼拜把《范氏大代数》读完，并不是我特别聪明，是我常想一些困难的问题。我是一个数学家，但不是很出色，所以算是一个平凡的数学家，正因为我平凡，所以我比较了解一般人，我不是天才，所以比较知道人是怎么长大的。 ------------------------------------------------------------------------------------------

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-02 03:10:53

    推荐一下陶哲轩的文章，他本人是天才，针对数学的各个层次，从小到大都写了相应的建议，内容挺多的，我自己还都没有全看过一遍。 可能有些还没有翻译成中文，可以用Terence Tao搜一下。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-07 01:13:39

    记录一下，两个月前孩子在幼儿园看到一副恐龙扑克牌，后来就给儿子买了。这是他最喜欢的动物。 没想到，这幅扑克牌竟然能充当数学教具，因为它上面标注了恐龙的各种参数，身高，体长，重量，攻击力，智力，然后孩子们就拿着这些数据互相比较，用数据杀对方，不亦乐乎。 今天，把恐龙还按照攻击力大小的顺序，排列出来，同样攻击力的恐龙放在同一列，其实也是很好的数学训练。 记录一下这幅扑克牌的网站是， www.toptrumps.com www.piatnik.hu 不知道国内的淘宝上有卖的没，知道的也请分享地址到这里。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-14 03:37:05

    最近他看Ipad视频之前，都要求他练习6可以分拆成几个数的和，把所有可能写出来。这种要求有点逼迫性的含义，为什么用这个思想，见这个帖子 【讨论】快乐教育遗失的角落 http://www.douban.com/group/topic/19330739/ 只要提出这个要求，儿子是很痛快地答应的，并不反感。所以我们对阴阳哲学的理解是，快乐是“阳”，阴不是“不快乐”，而是平淡不反感，这种情况下，是有文章可做的，如果光谈快乐教育，就容易迷失这个角落。 这两天，开始练习7。他自己已经发现了规律，要分拆的第一个数，会按顺序来试，后面的还是靠猜，然后靠直觉来估计是否把所有的可能写出来了。 另外一个，长期以来，希望他能用华德福的拍手数数方法，每一轮拍到120下，这种唠叨现在看来起效了，最近开始愿意拍手数数了。 当然，也用了附加办法，每拍一轮奖励2元钱，道理见这个帖子 如何进行物质奖励 http://www.douban.com/group/topic/17317987/ 拍手数数，确实还是比较简单的劳动，看来使用物质奖励，没出现什么副作用。孩子会借机提出，画画也给奖励，那是复杂的创造性劳动，跟他说了这个道理，就不奖了。 他自己拍手的时候，开始会主动想出拍的花样来，因为华德福拍手数数的视频在网上找不到，只有很少的一些文字介绍，具体的拍法花样，其实我也正在探索，没想到儿子主动想出来的就很好，我也不用探索了，他拍成什么花样，我记下来，下次接着跟他拍就是了。 他已经开始注意到用2的倍数来拍，双人合作拍手的时候，主动提出，一人念奇数，一人念偶数。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-16 00:29:18

    他已经开始注意到用2的倍数来拍，双人合作拍手的时候，主动提出，一人念奇数，一人念偶数。 今天散布到最后的时候，练习拍手，儿子又主动想出双倍念数法，一边走一边拍的时候，他只拍和念奇数，我只拍和念偶数。 这种方法，感觉真地对身体很有好处，我估计自己坚持下去，将来不会老年痴呆了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-16 00:33:06

    最后，他突然提出一个问题，什么是最大的数，刚开始他认为是十亿，后来发现2亿更大，然后推到十十亿，告诉他，十十亿就是百亿，他认为是最大的。 再问他有没有比百亿更大的，他觉得没有了。 实际上再往下想，就牵扯到数学中最重要的两个思想，递推法和反证法了，先记录一下，以后跟他重复提起，看他会怎样发展。 真是夸子所说的，“这路行来，越发的有意思了。 ”

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-23 19:40:25

    这一阵一直在练6=...的分拆数问题，隔一天看Ipad视频之前练一次，儿子心情很愉快地接受了这个规定，每次都是这一个主题，越练越高兴，因为觉得自己能想出办法来，破解这个问题。 已经把两个数求和与三个数求和时的所有分拆情况都写出来了，昨天做4个数的，也能出来，不过还是第一次。 这实现了我的数学教育理想，一道题做上“一个学期”（虚语，表示个意思），真正把它搞透，才行。 最近几次，他做完后，加上另一个任务，两个2是几，两个3是几，前几次能做到两个7，昨天做到两个9了。 估计，儿子9月份上小学，数学方面应该准备的可以了，虽然他还不能够完全掌握二十以内的加减法，但是按照他这种思考数学问题的方式，不可能是班上垫底的了，否则中国早就强大的不得了了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-23 19:50:41

    暑假这一个月，送他去Budapest驻地附近的游泳馆，相当于暑假托管班，只有体育，没有任何知识性内容，过一阵会在我博客上介绍一下。 回来的时候，1/2的路途会经过Varosmajor公园，里面有好些匈牙利中年、老年男子，在打扑克，下国际象棋，儿子喜欢看国际象棋，每次陪他看好长时间，终于有一天，他买到了一幅国际象棋，开始练开了。 我本人从小不会扑克，甚至有点厌恶的感觉，不知是什么原因。至于象棋，也是没兴趣。围棋感觉会好一些，有点像宇宙的哲理，可是接触太晚，上初中才见过围棋棋盘。 我一直觉得，棋类游戏固然很好，有好些数学家喜欢，也有好些数学家不喜欢，所以说明并不是数学学习的必须，现代社会，关键能力还是语言，数学语言是其中一种。 另外，棋类游戏作为业余爱好在现代社会也不具有长久性了，因为大家都是脑力工作者，累了一天，闲的时候再动脑子，那可就要命了，所以，长久的业余爱好，还应该是偏于体育方面的。 不过，孩子这么小的时候，如果自己就喜欢，练一练也挺好的，估计儿子真要找个老师学一下，可能立刻就能胜过我，我一位数学同事的儿子就是这样。 在Ipad上也给他下载了Chess.com的程序，跟他玩过几盘后，他要是还有兴趣，可以转交给计算机，能省点事。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-24 16:45:30

    在下国际象棋的过程中，感觉儿子的思考能力应该是很不错的，所以幼儿智力，真应该综合地考虑，如果仅仅看儿子的算术能力，比同龄的甚至小他半岁的女孩子差很多。 如果一个老师，不具有像我这样多年科研训练的眼光，很可能就把孩子给看走眼了，甚至把孩子的优异表现看差了，我指导大学生去中学实习时，就发现这点，大四学生自己水平差，反而理解不了优秀中学生的思想表现。 譬如，儿子下完了之后说，爸爸你把我下赢了，我又把妈妈下赢了，所以很可能你能下赢妈妈，这是数学上的四大基本思想之一，递推。他能主动地去这么想，去分析，实在令人欣慰。

  • 姚立其

    姚立其 2011-07-25 08:38:12

    王教授，数学上的四大基本思想，除了您上面说的“递推”，另外那三个是什么？

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-25 15:22:31

    呵呵，别客气，是我自己归纳的，用来指导自己对数学的理解，详细的内容要写成一本书。这里只能简单提一下 递推 对称 求和 分拆 其实，我们人生的道理，从某种角度上来说，思维智慧上，也不外乎这几种。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-25 18:49:30

    上次刚说到儿子没有掌握二十以内的加减法，没想到今天儿子自己设计了一个数学游戏，正好可以针对这方面的练习。 方法就是画个迷宫，每一站标注数字序号，拿着筛子两个人玩，有些站会比较可乐，附加一些算式，算对才能通过，有些则是要退回几步，相当于减法。 儿子的筛子，是用橡皮切的，以前做的。今天主要是画地图，先用3张A4纸粘在一起，这样纸面比较大，适合他把站点画大一些，路线他画的曲里拐弯的，站点正好是线缠个弯，里面正好可以写上数字序号。 这样子两个人玩，比如12站点上仍出一个筛子5，那就把棋子（今天用的是棉签）放到12+5=17上，他还不会，那只能一点一点来，12+1，12+2，。。。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-07-25 19:53:13

    关于数学课程里面加入数学游戏环节，我也一直在思考，觉得这方面一定要弄明白道理，不能光是热闹，所以有些做法并不同意。 比如说，棋类游戏，我就不赞成加进数学课里，数学课时就那么多，加进去了势必影响传统知识的学习，倒底图个什么呢，你说，我什么都不图，教育是没有目的的，那可就是开玩笑了。 人类智慧那么多，如何放入教育系统中，总得有个标准吧，是什么标准，使得你把棋类游戏放入数学课中，总得讲出道理吧。 仅仅是思维训练，这句话可太虚了。 科研可以主要是加法，创造越来越多的材料，教育，则主要是减法，不是什么东西都要放进教育系统来的。 我不赞成棋类游戏放入数学正式课程的理由是，它不是语言，教育系统应该是以三大语言的学习为主，必居其中之一才有价值教，如果能处在交集之中，那就说明价值更高。 孩子如果喜欢棋类游戏，那就放到课外活动，学有余力之后再做就是了。 儿子发明的这个数学游戏，却非常好，值得放入课程环节中，因为它考察的知识正是数学中最基本的运算，谁也逃不过去的，属于必学必会的内容。 另外，采用二人竞赛，相当于把数学教育跟社交环节做了一个交集，这也是我虽然反对棋类游戏作为课程环节，但是还在思考棋类游戏之外的数学游戏的原因，没想到，儿子帮我设计了一个这么好的数学游戏，以后拿这个练他就是了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-16 15:57:06

    这一阵，儿子喜欢上国际象棋，每天要跟妈妈下几盘，最近妈妈连输了几天，我刚才上阵也输了。 当然，这跟我们水平不高有关，但是儿子也是刚学啊。 这件事情很奇怪，儿子能在国际象棋方面下过妈妈，说明他的逻辑推理能力，绝不亚于成年人了，另一方面，90+30是多少，他还要算半天。 儿子对国际象棋的兴趣，因为我们的大输，恐怕会越来越高，我们这种输，不是装出来的，孩子能感受到，所以非常高兴。 另外记录一下儿子刚发明的一个数学游戏，他昨晚搜集了很多广告卡片，上面有数字，专门把这些数字剪下来，今早就用这些纸片，进行数钱游戏。 规则是，双方出纸片，可以出一到三张，加法出数值，比大小，这时他有个创意很关键，赢的人，把自己刚出的纸片，也就是大的数值，放到己方垃圾堆，意思是下次不可以再出这些纸片，而把对方刚出的纸片，收回到自己的阵线，意思是下次还可以使用这些纸片。 这个规则很有意思。 数值比大小，也是属于最基本的数学训练，所以记录在这里。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-16 16:11:33

    前两天，为了买一件玩具，他攒的钱不够，或者说，为了买这件玩具，要算出他攒的钱，就算这件公式 90+20= 涉及到进位，也涉及到十进制。当时算了1个多小时，我陪着他坐在商店外的石板街上，自己都感觉很累。 主要有两种算法，一种是笨办法，就是念数 90+1=91， 90+2+92, .....90+19=109,90+20=110. 这个办法也并不容易，需要集中注意力。 另一种办法聪明些，90就是9个十，20就是2个十，9个十加2个十，就是9+2=11个十。 儿子两种办法都使用过了，时间费得很长，因为有心爱的玩具，一把越南制造的弓箭在那诱惑着，所以他不放弃。 然后把弓箭就买回来了。 弓箭买回来之后，我多留了一个心眼，他要试弓箭的时候，又让他回答90+20=？，结果又不会了。 这是一个正常现象。 于是跟儿子说，只有他真正会的时候，才能够把买来的弓箭组合在一起，试射，否则只能分别摸。 那天晚上，他看来是没有任何体力，把这个问题真正攻克了。 第二天，他背着一支箭跟我们玩，假期旅游，全天快玩结束的时候，他想出来了90+20，两种方法都行，比我预计的要快一些。 不过，他还没真正掌握，90+30，90+40还不能真算出来，退回来到个位加法，9+3，9+4,基本上还是会的。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-16 16:16:42

    做了一个在线共享文档 幼小数学练习方法的创意 <script src="http://xiexie.baihui.com/public/arithwsun/%E6%97%A0%E6%A0%87%E9%A2%9810/script"></script> 放到第一楼，这样大家看的时候方便一些。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-16 16:19:34

    做了一个在线共享文档 幼小数学练习方法的创意 http://xiexie.baihui.com/public/arithwsun/%E6%97%A0%E6%A0%87%E9%A2%9810 放到第一楼，这样大家看的时候方便一些。

  • 姚立其

    姚立其 2011-08-17 12:40:30

    王教授，您说： “我5岁的时候，数数还数不过3。" "我小时候一学数学，就打瞌睡。" 由此，我关心的问题是： 您是什么时候，由什么样的机缘而在数学上有了转变呢？

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-18 03:12:06

    我7岁上小学一年级的时候，就超过了全班同学了，小学数学课堂上，都是老师在台上讲，自己在下面不听，先用口算得出老师黑板上的答案的。 5岁～7岁之间的事，我记不太清了，但能够确定两点，都是我妈妈教的： 1. 我妈妈贯彻了不强迫，不急燥的原则，虽然心里害怕我是个傻瓜，但是不表现出来。 2. 她引导我使用了两种教具，一种是利用扁担上的格子玩沙子，一种是翻小人书页上的数码。 所以，我的文档，对此是作了总结的，不过因为自己记忆不清，没写多少案例。 我很多具体的东西不敢写太多，害怕一写就会出错。所以只写了大原则，第一大原则就是自学能力，数学家，就我接触来说，几乎都是“自学”出来的。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-18 03:12:37

    另外，我们小组的成员，都叫我永晖，请直接称呼就好。

  • 姚立其

    姚立其 2011-08-18 06:18:59

    不知道很多读到您的“第一大原则就是自学能力，数学家，就我接触来说，几乎都是“自学”出来的。 ”的家长和正在学数学的学生会不会特别注意到句中的“就我接触来说，几乎都是”这一部分？这是大多数普通人很难有的机会，所以您的这个“接触，几乎”使我对“自觉”所具有的根本重要性就有了更强的信念。 我认为，如果有家长对这句话有了比较深入的理解，（如果他以前没怎么意识到的话）那他必定会对自己对孩子的教育培养措施做一些调整。 对于“自学这个首要的原则”，我们请哈尔莫斯来给永晖助阵（真理也要靠人多势众吗？）。哈尔莫斯说： “学习数学的唯一方法是亲历数学知识的生长过程。” 作为不能通过逻辑来证明的一些论断，一些实例的支持非常重要。从这一点来说，在如何更好得进行数学的学习与研究上，永晖作为数学家，他的“接触”和“自身对数学的感悟”，极其珍贵。 “王教授”、“王老师”变成了“永晖”，第二人称也慢慢跑偏成了第三人称。

  • 菁菁爸爸

    菁菁爸爸 2011-08-18 16:20:35

    王教授，你这里提出的“态度建设”（A1与A2）非常地好！ 同时数字拆分游戏太棒啦。昨天与前天都让闺女跟她的好朋友（即将上一年级）都玩了。昨天玩的是将6颗棋子分放在三个筐子里（允许有空的），问他们有多少种放法。小人自己边玩边记录，历时40分钟，摆出了23种。后面因时间中断了他们。 这对培养他们不马虎、全面考虑问题、培养专注力与敏感度都非常有好处。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-19 01:59:09

    非常高兴大家能够一块儿实践。大家互相称呼名字即可，万勿客气。 这个分拆数问题，其价值在于是我儿子自己想出来的，我再根据数学史确认其价值，选做了练习手段。 所以，有时候，孩子可能自己就想出了很好的数学练习方法，但是如果家长没有数学眼光，就把它错过了。 我让儿子练这个，主要还是为了他的基本计算能力，其次才是把所有的组合情况弄全，实践中我加了一个限制，只要弄出2个数或3个数相加的情况即可，这样情况就不会太多了。 即使如此，儿子估计也练了2、3个月了。所以，奥数培训学校那种，3个小时讲20几道题的，我是根本不相信的。我儿子智力上看来也不是笨蛋，但就这么一道题也练了几个月才完全会。 对于小学一年级来说，我在文章中曾经建议，阴山英男的百格计算，相当于传统的九九乘法表，其中的道理，文章中也说过了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-19 02:31:58

    我刚看到一个七巧板的说明书，国外叫做Tangram，这个是波兰的Granna公司出的，制作的好处是，前面是提示，后面才真正给答案。 http://www.douban.com/photos/album/54930749/ ---------------------------------------------------------------------- 我小时候自然也见过七巧板，没什么提示图形和答案的那种，没什么感觉。这次看了，觉得还挺不错，就是不知道多大的孩子会喜欢玩，这些照片打印出来就能自己玩了。 这是智力游戏了，跟小学数学学习的关系，我还没想清楚。国际象棋也是类似，目前的态度是，孩子喜欢，就鼓励他玩。如果他不感兴趣，就不会像基本算术那样，不断地去引导他。

  • 菁菁爸爸

    菁菁爸爸 2011-08-19 16:44:49

    王教授，能否提出或做一些规划，在小学期不同年级，该如何培养孩子的数学能力。比如在态度建设良好的前提下，分阶段地在游戏中注入哪些元素来无意识地引领。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-08-20 00:26:27

    我自己儿子9月份才上小学，我是71年的，当时上学都是粗线条的，所以你说的东西，我现在还做不了。 另外，我把孩子在小学低年级阶段的重点，准备是放在书法和武术上，数学方面只要能做好百格计算就行了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-07 17:57:45

    资料：美国公立学校教室里的乘法表，小学三年级的 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&amp;uid=415&amp;do=blog&amp;id=483631 http://image.sciencenet.cn/album/201109/06/2329289cimgeiksg6y9p6p.jpg 是12×12的表。有一些中国报道说，美国学生不背乘法表，当时在科学网博客上还有过争论，我当时问Stanford大学数学系的博士生，他们说都是要背的，这个照片算是实证。 不过，美国小学数学的进度比较慢了，这一点，其实美国人自己也在批评，我博客上提到的一位哥伦比亚大学心理学教授，专门写了本幼儿数学教育书，即是此观点，他教自己的孩子数学，女儿成就很大，是Stanford当年毕业的最优秀的数学博士。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-10 21:18:18

    儿子这学期上小学了，这两个星期刚回国，事挺多，陪他的时间少多了。 他自己意识到，算6个2，跟算2个6的值是相同的，而且后者对他来说更好算些。 这个相当于乘法交换律，但实际上我还没有教他乘法的概念，不知道他是怎么意识到乘法的交换律的，因为，如果不讲乘法的概念，意识到6个2=2个6，还是不平凡的。

  • 姚立其

    姚立其 2011-09-11 06:50:10

    “他自己意识到，算6个2，跟算2个6的值是相同的，而且后者对他来说更好算些。” 这事不简单。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-11 16:58:09

    他当时应该是灵光一闪说出来的，算是个小顿悟，这几天我比较忙，差点给疏忽过去了。 我估计他会忘掉这个，今天问他的时候，果不其然，但是可以当作一个练习题来问他了，看他哪天又能想起来。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-12 12:02:16

    伍鸿熙的中小学数学教育讲座 http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&amp;uid=45143&amp;amp;do=blog&amp;quickforward=1&amp;id=485526 伍老师所讲的内容，跟广告中的题目“从高观点下看中小学数学”还是稍有不同。 我有位数论老师，以前跟我介绍过，他/他孩子的小学，将 “代数观点” 引入到算术中，可能跟帖子前面引述的蒋迅老师的题目含义类似。 比如，算1a+2a=3a，1a+2b+2a+3b=3a+5b, 我当时没什么感觉，那时候没有孩子呢。 现在，有自己孩子后，我发现，算术系统本身就有代数的观点，比如，我儿子现在应该已经意识到了， 10+20=30 其实就是把a换成了十 1百+2百=3 其实就是把a换成了百 1百+2什+3百+4什=4百6什 这就是最简单的“代数”了，如果用高观点，把它说成是“代数观点”，其实也没什么错，我们从小一直就这么算的，也没什么玄秘的，现在把百换成a，把什换成b，要不要引入到教学中，倒是值得慎重考虑，这里仅仅作为一问，尚待以后实践。 在我们的传统教学体系中，一般这对应的是初中的因式分解内容了

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-20 17:50:38

    儿子今天放学后，自己又强烈要求画个画，没想到其实是给妈妈出了数学题，四个五十亿连加是多少，纸面上还宽裕，就又写了几道。 写四个五十亿的时候，估计花了二三十分钟时间，5000000000，9个零，我看了，他自己确实写得挺清楚的，也知道答案是200亿。 我问他为什么，以前一般都不问他怎么算出来的，现在觉得时机到了，就问一下，确实是按照上面代数的想法算出来的，四个五十就是二百，四个50亿就是200亿，相当于把亿当作了字母代数。 这个想法，看来儿子是真正掌握了，其实大部分是他自己摸索出来的，中国的数字念法体系比较优越，容易让孩子们自己探索出来。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-20 17:56:13

    华德福的拍手数数的方法，还是一直希望儿子来练习，期望身心节奏协调，儿子这方面确实需要提高，对于2节奏的拍法，他现在还做不好，这就要靠家长的坚持，否则孩子自己就晃过了，懒，不会愿意练的。 这种情况其实发生的挺多的，并不太像一些华德福教育宣传者说的那样，孩子会非常喜欢拍手数数，相反，不少孩子会觉得拍手数数麻烦，不愿意做。 但是，我感觉到这个方法有价值，现在普通无节奏的拍手，儿子已经没有问题了，虽然还谈不上什么兴趣，只愿数数，不愿同时拍手，以后接着得练有节奏的拍手了，对应的实质之一就是乘法表。

  • 姚立其

    姚立其 2011-09-21 09:07:27

    小同学的“强烈要求”、“给妈妈出题”、“自己摸索出来”都好得很！ 永晖的“以前一般都不问他怎么算出来的，现在觉得时机到了，就问一下”、“让孩子们自己探索出来”是大多数家长用心也不一定用得到的地方，因为这跟家长在这门学科上的修养与见识有关。 小同学的思维过程大概是这样的： （按照代数的想法，）5000000000是50个亿，所以 四个5000000000就是四个50个亿，而四个50是200，所以四个50个亿就是200个亿，而200个亿就是200后面再加8个0，即200'00000000（数中分号表达思维操作过程，在实际写时并不出现）。 另外，看小同学能否想通： （按照代数的想法，）5000000000也是5个十亿，用文字表达即：五十亿既是五十，亿，又是五，十亿（即代数中的a(并不明确出现在小同学的脑海中) 也可以是这个“十亿”）。于是： 四个5000000000就是四个5个十亿，而四个5是20，所以四个5个十亿就是20个十亿，再由10个十是100和20是2个10得，20个十是2个100，即200。从而20个十亿是200个亿，而200个亿就是200后面再加8个0，即200'00000000。 注1：我提供的这个方案比小同学的复杂，所以在优劣上我是输给了小同学的。 注2：我提供的这个方案里暗含了乘法的结合律。这应该是它之所以复杂的最深根源所在。在小同学的知识系统里，虽然4×50没有4×5简单，但却不用面对 （4×5）×10=20×10=（2×10）×10=2×（10×10）=2×100=200 这样的过程。 又细想了一下，小同学好像也隐含地处理了乘法的结合律。他进行的是这样的步骤： 4×（50×亿）=（4×50）×亿。 从认为我提供的方案与小同学的做法的主要不同在于乘法结合律的有无，到认识到事实上，小同学的做法里也算是处理了乘法的结合律现象，我在思考小同学提供的这个数学小问题的过程中，也不是没有收获的。 小同学快乐加油！ 我的不当之处，请永晖指正。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-22 21:40:34

    我一般是不管孩子怎么算出来的，只要是正确答案，就算他对，有些家长和老师，非要探究小孩子的思路，甚至希望孩子最终按照他们成年人的思路来走，将此称之为“理解”，我觉得没有必要，操作的不好甚至有害。 “我坚信，他之所以能自己建立起来，是因为本性具足，一个大猩猩，我是如论如何教不会他数学的。” 这是我教孩子数学的出发点，这个观点，我的一位老师认为不严谨，我确实找不到非常充分的心理学实验依据，目前其实已经有了，但可能确实不够充分。 所以，按照我的这个出发点，大人所要做的，不过是把孩子的本性认知，教会他们使用通用的数学符号，如此而已。 所以，我其实不是很在乎大人是怎么想的，小孩子是怎么想的，小学数学就那么个水准，琢磨那么多其实没什么意思，关键在于，把小孩子自己琢磨出来的认知，连上现代通用的数学符号，做到这个就够了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-09-27 09:27:01

    -------资料：儿童天生具有科学思维能力------------------------------------ http://paper.sciencenet.cn/htmlpaper/201192611391869819557.shtm 自20世纪90年代以来，多项研究显示，儿童的思维是科学式的：他们做出预测，实施微型试验，得出结论，根据新证据调整最初的假设。但是，尽管儿童能够以一种让他们弄清因果的方式玩耍，尽管他们有基本的概率意识(如果你在一个蓝玻璃珠比白玻璃珠多三倍的碗里拿出一把白玻璃珠，8个月大的孩子会感到惊讶)，科学家过去却并不清楚儿童是否掌握试验科学的一个关键手法：通过分离出变量并分别检测这些变量来获取信息。 斯坦福大学的诺厄·古德曼说，这显示出他们分离因果变量的惊人决心。他说：“他们实际上设计出一项试验以获得想要的信息。” -------------------------------------------------------------------------- 分离变量法，确实是一个基本的数学思维方法，我总结出有四大，这个属于四大之一。 另外一个是“对称”，肯定也是能够在小孩子的天性中发现的。 我们之所以能教孩子，是因为他们天性具足，这应该是我们从事幼小教育的出发点。我发现，一些成年人教孩子，老是有焦虑心态，害怕小孩子学不懂，为此要搞花样，其实教育是应该求“简”的，我们之所以能从简，就是因为小孩子天性具足。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-10-03 22:14:43

    这是Berkeley Math Circle给一到三年级小朋友的趣味数学讲座： http://mathcircle.berkeley.edu/index.php?options=bmc|bmcarchive http://mathcircle.berkeley.edu/index.php?options=bmc|bmcarchive (scroll to the bottom. under "BMC-Elementary Lesson Archive") 这是我最近了解到的一些资料，还没有仔细研究，供参考。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-04 09:21:21

    链接地址应该是这儿： http://mathcircle.berkeley.edu/index.php?options=bmc|bmc_elementary|BMC%20Elementary 这个家长授权表，写得很仔细 http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2011_2012/lectures/1112lecturespdf/BMC_parent_consent_2011-2012.pdf http://mathcircle.berkeley.edu/archivedocs/2011_2012/lectures/1112lecturespdf/Photo%20release%20BMC%202011-2012.pdf 似乎对我最关心的多媒体教学记录的网络公开办法，有一些说明。 这类网站应该有一些，所以我们专门另外开一个帖子吧 国内外公益性奥数培训网站集萃 http://www.douban.com/group/topic/22700124/

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-10 19:43:59

    儿子今天想算 1+1=2 2+2=4 4+4=8 8+8=16 16+16=32 32+32=64 64+64=128 128+128=??? 到这步的时候不容易算出来了，还要再多想想。 儿子小学一年级用的是北师大的教材，里面用的是图示来训练孩子口算，如 1 ？？ ..\ .../ .....3 ??处就应该填答案为2。 儿子老是在这种题目上出错，如果让他直接算1+??=3，他是能直接算的很清楚的。 我对教材也没什么研究，不知道这种图示计算是牵扯到什么样的心理学，最后想到的处理方法是，告诉孩子，左手拿1，右手拿？？，两个手加在一起是3，那右手拿多少？？ 问了孩子，老师并未没有像我这样给孩子解释清楚题意，北师大版的数学口算练习，相当于创造了一种新的数学运算符号，但是似乎又没有专门为此做出相应说明，既然我儿子在这方面出问题，肯定出类似问题的孩子也不少。 大家将就将就，也能就这么过去了，但是不知道其他家长/老师，采取了何种解释性方法，让孩子明白题意。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-10 19:44:58

    儿子今天想算 1+1=2 2+2=4 4+4=8 8+8=16 16+16=32 32+32=64 64+64=128 128+128=??? 到这步的时候不容易算出来了，还要再多想想。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-10 19:46:19

    儿子小学一年级用的是北师大的教材，里面用的是图示来训练孩子口算，如 1 ...？？ ..\ .../ ....3 (省略号处相当于空格，豆瓣不支持空格，只能这么写) ??处就应该填答案为2。 儿子老是在这种题目上出错，如果让他直接算1+??=3，他是能直接算的很清楚的。 我对教材也没什么研究，不知道这种图示计算是牵扯到什么样的心理学，最后想到的处理方法是，告诉孩子，左手拿1，右手拿？？，两个手加在一起是3，那右手拿多少？？ 问了孩子，老师并未没有像我这样给孩子解释清楚题意，北师大版的数学口算练习，相当于创造了一种新的数学运算符号，但是似乎又没有专门为此做出相应说明，既然我儿子在这方面出问题，肯定出类似问题的孩子也不少。 大家将就将就，也能就这么过去了，但是不知道其他家长/老师，采取了何种解释性方法，让孩子明白题意。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-12 13:49:28

    需要仔细确认一下，我儿子使用的，叫“口算速算本”，是配套北师大版教材，本身是少年儿童出版社出的。 除了“左手”、“右手”的解释性方法之外。我还使用了另外一个办法，即对一套题，把所有可能类型的表达方式，全都给孩子列出来，即： 1 ...？？ ..\ .../ ....3 ？ ...2 ..\ .../ ....3 1 .....2 ..\ .../ ....？ ....3 ../ ..\ 1 ...？？ ....3 ../ ..\ ? ...2 ...?? ../ ..\ 1 ....2 孩子看到所有这种情况，也才能真正明白这种题型的含义是什么。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-12 13:53:49

    需要仔细确认一下，我儿子使用的，叫“口算速算本”，是配套北师大版教材，本身是少年儿童出版社出的。 除了“左手”、“右手”的解释性方法之外。我还使用了另外一个办法，即对一套题，把所有可能类型的表达方式，全都给孩子列出来，即： 1 ...？？ ..\ .../ ....3 ？ ...2 ..\ .../ ....3 1 .....2 ..\ .../ ....？ ....3 ../ ..\ 1 ...？？ ....3 ../ ..\ ? ...2 ...?? ../ ..\ 1 ....2 孩子看到所有这种情况，也才能真正明白这种题型的含义是什么。 就我儿子这个实例来看，起码不是所有的儿童，对这种图式计算都有直觉的反应，儿子经常会根据他自己的直觉去写，如果求解过程老是加法，下一次求解，他会习惯性地使用加法，并不明白图示本来想表达的减法含义。 这样做，当然是对传统的加减运算，徒增了一层手续，重新定义了记号规则，这里面有什么样的心理学依据，为什么要这么做，我不是特别清楚，不知道是不是有教师用书，解释了这件事情。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-13 18:53:16

    妈妈给儿子也提供了一种方法，就是两个数字如果是直的（两个数字在同一个水平线上），就是加法，如果两个数字是斜的，就是减法。 这种方法对于儿子来讲很奏效，儿子更愿意使用这种方法，他说，“我都会了”。 这种方法完全不管图示本身的含义，就是从局部的视觉特征，如果出题人知道儿子是靠这种办法学会的，不知道心里有何感觉。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-10-19 14:30:36

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_4f7cd6a101000df5.html 清一：一次他要我考他，我问100-10等于多少，他马上就回答出90。接着我故意开玩笑说：10-100等于多少？小家伙犯傻地说：不够减。我就说差多少才够？回答是差90个。告诉他“差90个”就是答案，只是在数学里，不说“差多少”而说“负多少”。他很快就了解了这个概念，以后再问到类似的问题就会说“负多少”了。这说明我们平时远远低估了孩子的学习和理解能力。

  • 能改名字了吗？

    能改名字了吗？ 2011-10-19 21:15:40

    这个教育负数的概念很顺水推舟。学习了。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-11-03 20:12:20

    今天孩子在做小学布置的作业“百题计时计算”之前，我要求他先把以前的分拆数问题写出来，即6可以写成几加几，所有的可能罗列出来。 这就秉承着我的理念，数学题目一定要弄透为止，没想到儿子在1分钟之内就画了个房子图，把所有的答案容纳在这个房子图形里： http://www.douban.com/photos/photo/1283980044/ 太让我惊讶了，这么短的时间，不知道他是怎么灵机一动想到的，这个图片只能反映静止的最终形态，其实刚开始写的时候，他是只填了+号左边的数，相当于出了一份卷子。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-11-08 10:54:16

    科学网博客的蒋迅老师（居住在美国加州，数学博士出身，现在好像在美国航天局工作）为这个写了一个评论： 　　 　　这幅儿童画够数学的 　　http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&amp;uid=420554&amp;amp;do=blog&amp;id=505388&amp;cid=1318741

  • 瞌睡蝠

    瞌睡蝠 2011-11-10 21:46:24

    王老师的方法很值得学习啊，收藏了 一点点拙见： Patterning确实重要，是将来学代数的理解基础。除了石头其实什么东西都可以拿来当道具。比如说各种色彩的积木啦纽扣啦，按照不同的顺序来组合，孩子可以拿画笔把自己的排列记录到纸上。不过这个可能跟你说的不太是一回事？ 关于加减法还有一个概念是grouping和sorting，分类和筛选。可以在家里或者户外收集一些小零件，按照不同的类别来分，比如形状啦颜色啦功能啦什么的，也是帮助理解加减法的概念。 王老师说不太在乎孩子怎么算出来的，只要答案对了就好，我不太认同。但感觉王老师其实还是很在乎孩子的思考过程的。我觉得最重要的部分就是他怎么得出来的，因为一道“题目”有很多种方法，他选哪种都可以，但通过给别人讲述自己是什么算出来的有助于理清自己的思路。

  • 王永晖

    王永晖 组长 楼主 2011-11-11 19:30:22

    『孩子可以拿画笔把自己的排列记录到纸上。不过这个可能跟你说的不太是一回事？ 』 是一回事，很遗憾，我们并没有真正做起来，孩子上学后，这方面就没有时间了，只能管住“口算”这一方面。 『王老师说不太在乎孩子怎么算出来的，只要答案对了就好，』 这是一种务实的态度，就像把种子种到地里，只要它长出来就好，别老去刨它的根，看它倒底长得怎么样。 等孩子长大了，有的是时间让他“讲述自己是什么算出来的，有助于理清自己的思路。 ” 这个态度，在我那篇 幼小阶段数学教育的真功夫 http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&amp;uid=45143&amp;amp;do=blog&amp;quickforward=1&amp;id=412068 就表述出来了，大人不用做得太多，只需帮助孩子学会使用人类通用的数学记号。

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