数学物理

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  CS 组长 楼主 2011-03-31 10:26:22

  发信人: poncaly (燃烧的飞鸟), 信区: Science 标 题: 数学和物理的关系（科普。。。:-）) 这是我自然辨证法的论文，写了半天，发现自己也是一头雾水，不过用来作为科普文章还 在古希腊的时候，所有的科学都是没有区别的，无论是数学还是物理，甚至是哲学 都被看才成是一个整体，几无例外，所有的数学家都是物理学家，所有的物理学家同时也 是数学家，同时还都是哲学家。 阿基米德被认为是历史上的十大数学家之一，同时也是伟大的物理学家。这种情况是由科 学的发展的情况决定的，那时候科学的水平还比较低，人们的知识还不是很多，所以成为 通才也相当容易。这个传统一直到牛顿的时代。牛顿以惊人的天赋同时与莱步尼滋发明了 微积分，并用这种数学语言写下《自然科学的数学原理》，在那本书中牛顿写下了宇宙运 转的方程，这个伟大的成就影响了整个世界的哲学观点，形成了机械的唯物主义的自然观 ，这种自然观依赖与精确的表述，而微积分正提供了这样的工具，成全了牛顿这位上帝派 来的使者。而由微积分的发现，数学和物理开始分野，一方面数学和物理原来就有不同的 哲学观点，其次牛顿发现的微积分隐含严重的逻辑上的问题。数学和物理从此开始各自不 同的发展道路，并有意思的形成历史上各种殊途同归的神秘现象。 在下面我们将先谈物理学的发展，在其中介绍数学的情况，和他们之间相互影响的 关系。最后，我们就将介绍在最近二三十年中在数学和物理发展中显现出来的完全不同与 以前的新的互相影响的情况，如超选和四维空间的奇异结构及与量子力学之间的关系，和 他们相互影响过程中导致的矛盾。 他们相互影响过程中导致的矛盾。 物理学在牛顿奠定了基础以后，就发展缓慢，物理学界弥漫着乐观的气氛，在十九 世纪结束的时候，有人甚至认为，科学家已经没有事情可做，只需要对已有的科学结论修 修补补即可。而恰恰在这时候，神奇的1905年，就象牛顿神奇的1687年一样，爱因斯坦建 立了相对论，而狭义相对论的最重要的贡献是改变了人们的时空观，在数学上他是简单的 ，一个洛仑兹变换群的作用，很快数学家名可夫斯基给出了相对论简洁的数学表示，他引 入了一个有很高对称性的空间。后来爱因斯坦又建立了广义相对论，很巧合地，用到了黎 蔓几何，那是黎曼在19世纪的时候纯粹从数学的需要建立的理论，他的关键就是用局部的 几何性质来得到全局的性质，这是一个很深刻的理论，因为从宇宙的尺度来看的话，人类 所在的是一个局部平坦的空间。爱因斯坦就是利用这个数学工具并精心了被称为人类历史 上最深刻的思考以后，建立了广义相对论，他的一个很重要的结果就是说：重力是由于弯 曲空间形成的，这在几何上就是一个联络曲率的问题。也正是从相对论开始，黎蔓几何得 以飞速的发展。 后来就是量子力学的出现，同样是改变了人类对自然的观点和对人类本身的看法。在 这里，出现了各种对称性的数学，各种各样的对称性，促进了他的发展，海森堡有一个观 点就是认为在物理中研究中不用再去研究什么夸克等等基本的粒子，只需要代之相应的对 称性就行了，对称性是物理学的本质所在。但是在量子力学中，我们总会感到他的不完被 性，各种各样的问题的出现，会使我们感到困惑，这又是为了什么呢？ 在下面我将介绍在和理论物理有关系的那些数学并在后面对他们做出解释。紧黎曼流 形上Dirac算子的指标定理，在规范场论的研究中显示出重要性，因为它可以度量左旋子 和右旋子的区别和其他一些物理对象。指标定理的许多证明来自于物理学家的观点。例如 ，超对称，一个代数公式使它得到简化，更一般的大范围的推广，包括研究Dirac算子对 规范势的依赖，已经从物理学中产生。量子场论促使Witten在loop spaces上引入一个合 规范势的依赖，已经从物理学中产生。量子场论促使Witten在loop spaces上引入一个合 适的Dirac算子。这使椭圆亏格的研究活跃起来：他们是一族合适的Dirac算子序列的生成 函数，这族算子是和切丛有关的向量丛有关。以被证明它是一个模形式，物理上很自然地 把它解释为二维相对不变性的一个结果，更多的刚性定理的猜想也从物理中自然产生并且 被严格证明。拓扑量子场论一些特别有趣的拓扑理论，包括Jone’s对扭结理论的工作和 Donaldson对四维流形的工作，使Witten对量子场论形式化。这也给了原来的工作一个统 一的研究框架和推广的思想，3维球体的Jones扭结不变量可以被推广到一般的闭3维流形 。无穷维代数的表示论，可以被整体地推广到黎曼面上，共形场论是连接了表示论和拓扑 的代数对象。量子场论导致了流形上的普通上同调环的自然分解，可以被称为量子上同调 。量子上同调在数学上有非常的兴趣。上面的离子都是与规范场论有关，这些都对2维重力? 难芯坑杏茫? 别的，这些摸空间的对角联系了Feynman 对角组合技术，最激动人心的发展归与 Kontsevich，他们连接了3维流形。最后我门来看以下扭结理论，Witten已经发现许多物 理的量子场论可以被”twisted”以应用拓扑理论。这些包括改变不同场的spin。许多物 理中的协变作用可以和数学中的扭结拓扑理论的饿协边作用等同。这些相同点有非常重要 的结果：Witten建议4维空间中的超对称yang-mills理论可以和Donaldson多项式的猜想性 质联系起来，而后者来源于拓扑的研究。 通过对以上例子的阐述，我们已经可以明显地发现，数学在这里已经不仅仅是如过去那样 ，只是物理研究的工具，在现在，数学已经物理融合，他对数学实体的研究，例如对四维 空间的研究直接导致了物理学上的突破，这些越来越显现出这个世界的神秘性，在下面的 讨论中我们将看到现在这中数学和物理的融合状态是如何形成的，那里有非常深刻的背景 ，已经超越了简单的相对论的时空观，因为现在的问题正是，我们无法理解4维空间的确 切结构，他在数学上的奇异性直接导致了许多物理上无法解释的现象，因为物理事件就是 发生在四维空间里. 发生在四维空间里. 在上面那些例子中，量子场论和拓扑理论有许多交叉，这说明有一些微妙和广泛的事实 被包含着。对于实际的物理，他蕴涵了一些什么东西呢？我们又应该怎样来处理数学的那 一部分内容呢？我们先来回忆物理学中对称（和群论）所起的作用。杨振宁在北大的百年 校庆的时候有一个讲演就讲了这个问题，对称性在许多年中是基本物理学研究的指导性原 则。从有限对称开始，然后是紧致群的连续对称，量子力学引入了非紧李群的希尔泊特空 间的表示。这导致了数学上的困难，因为没有合适的对称性的数学理论来描述他，有意外 的解析困难，这时候，Gelfand和Harish-Chandra建立了基础并发展了相应的理论。现在 ，无穷维表示是许多数学分支总很有活力的一部分，包括数论，早已经与物理的研究脱离 关系。同样，拓扑学和量子场论也有同样的关系，但其关系更加紧密。早期的拓扑上的思 想来自与Dirac（甚至是Maxwell），但是仅仅到最近一二十年才扮演了一个主要的角色。 拓扑和对称很相近，但是拓扑更为一般和复杂。所以现在量子拓扑也是是一个非常困难的 课题，需要许多年才能成熟起来。拓扑和代数对物理学的研究来说，有些东西都是共同的 普通的。这也是为什么在物理中许多分析可以被省略，用代数来代替。这就是为什么物理 的文献中充满了公式。物理学家形式地工作并且模糊地使用这些代数公式。很明显的，物理 中的对称? 杂泻芮康牡脑际裕沟梦锢砜梢杂么幢硎尽Ｄ敲赐仄说那榭瞿兀客仄烁隽说湍芰 孔刺男畔ⅲ彝仄顺３Ｐ枰砍。⑶野猿啤? 在拓扑上，80年代中期的时候，英国数学家Donaldson发现了，一个四维流形有不同的 微分结构，这是一个很奇怪的现象。又所有的物理时间都发生在一个三维和四维的空间中 ，这种拓扑上的奇异性必将影响物理现象，但关键的问题是，怎样在他们个之间产生影响 。这是现在数学的主流方向也是理论物理发展的主流。 通过以上的对数学和物理的分析，物理和数学从来没有能够独自得到发展，历史上向 来如此，尤其在现在，在量子场论的研究中，和3维四维流形的研究中，他们的思想是如 此紧密的结合在一起，我们不仅要问：上帝到底是怎样创造了这个世界。留给我们人类如 此的问题，莫不感到自然的神秘。在哲学上，我们将对我们所在的世界和时间有更深刻和 完整的了解。

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  CS 组长 楼主 2011-03-31 10:28:35

  对数学未来的思考（转） 发信站: BBS 水木清华站 (Fri Oct 13 12:20:00 2000) 对数学未来的思考 --我们依然站在不断扩展的地平线的门口 让我们想象一下：Archimedes(公元前287 -前212年 ) 这位在所有时代都是最卓越数 学家之一的他正在提问：对于数学的未来你们看到了什么？这位古代数学家刚刚计算了 球的表面积与体积，或者一段抛物弓形的面积，伸了伸懒腰，坐在位于西西里东海岸他 家乡叙古拉的沙滩上，凝视着天边。他感到困惑：在数学上，他或者其他任何人还能再 做点别的什么？他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体积和表面积；然而他还不知 道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的，基于希腊数学家们的数百年的研究并在他 出身的数十年前由Euclid 编写在他的名著《原本》中的那些知识。鉴于数学工具的十分 缺乏，局限了Archimedes 的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此，人们得 花上千年时间等待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。十进制的引进所带来的 符号简化在其力所能及的范围是革命性的。 将Archimedes 留在叙拉古的沙滩上，让他去思考数学的未来还有些什么吧，现在我们 去造访Issac Newton 爵士（1642 -1727）。23 岁时，当时刚取得剑桥大学学士学位， Newton 便被迫回家度过了18 个月光阴，因为那时正值大瘟疫，使大学关了门。在这短 短的时间里，Newton 有了许多基本的发现，数学上他发现了二项式定理及微积分的初期 形式，在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律，现在我们去会一会年事已高的Ne wton 并问一问他那个同样对Archimedes 提出的问题：什么是数学的未来？他可能会很 快回应道，简单的回答是，继续建造微积分，借助于微积分，Newton 可以把任何几何形 状的体积和表面积用积分来表示，并能计算到任意精确度，这 Archimedes 是所不能想 象的, Newton 思考着这样的事实，即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律（他会 说'我的定律'），他能够以解微分方程的办法来算出运动物体的轨迹，而这些方程表现 了力的平衡，那么，他自问道'我们能用微分方程去描述其他的自然法则，从而能以发展 解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗？'但即便是Newton的视野也不可避免地 有所局限。 从这时起到Gauss （1777 -1885）在数论中的基本发展花去了一百年，而到发展微几 何的复杂性和Riemann 流形则又多花了五十年。当我们离现代越近则未来便越容易预测 了，David Hilbert （1862 -1943）是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献 的人。他在巴黎召开的国际数学家大会（1900）上列出一系列著名的数学问题，在这整 个20 世纪对各个数学领域有着极大的影响，比如在数论、集合论、几何、拓扑论及偏微 分方程中。 在最近的五十年中，我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。在我所从事的 偏微分方程（PED）这一领域中，我们现在有了一个巨大的知识主体，使我们能够去理解 ，预测并计算许多重要的物理和技术过程。例如，当我们测量一个固体的表面温度，我 们就可通过解称之为'热传导方程'的偏微方程去推导出物体内部的温度，如果从外部加 热一个冰块，它开始融化，我们在微分方程方面的知识使我们可以断定融化了的体积是 怎样变化的，以及在融化了的体积中的水温。'梁杆方程'同样能预言当承受压缩力时一 个弹性梁是如何变化。当加在梁上的压力超过一个临界值时，它就会突然翘曲，形变为 许多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。 不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富，仍然有许多东西我们不知道。举例来说 ，我们不知道气体动力方程是否有一个数学解，这个方程是用来确定飞机周围和发动机 内的气流的。我们没有合适的知识来处理预测水的运动方程的解，从而我们对海洋的涡 流缺乏了解，这些及其他许多的基本问题仍然期待得到数学的解答，在未来十年中它们 仍是深入研究的主题。 数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态：虽然取得巨大进展，依然有许多基本 问题没有解决。相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位：我们已经 发展了许多重要的研究领域，已经有了许多强有力的计算和理论的工具。数学家们在未 来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新方法，用来解决在数学和非数学（即科 学和工程）领域中出现的问题。然而数学史表明，由现在去预言长远未来的发现是多么 徒劳。的确如此，在今天难以想象的数学的新领域，会完全料想不出地冒出来。 因此我不去预测下个世纪数学的未来而在这里举出科技中三个关键领域的例子，在那 里数学是以诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学，生命科学和数码技 术。 材料科学中的数学 材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料，了解并预言材料的性质 以及在一定时间段内控制和改进这些性质。不久以前，材料科学还主要是在冶金，制陶 和塑料业中的经验性研讨，今天却是个大大增长的知识主体，它基于物理科学，工程及 数学。所有材料的性质最终取决于它们的原子及其组合成的分子结构。例如，聚合体是 由简单分子组合成的物质，而这些分子是些重复的结构单元，称之为单体。单个的聚合 体分子可以由数百至百万个单体构成并具有一个线性的，分枝或者网络的结构。 聚合体的材料可以是液态也可以是固态，其性质取决于加工它的方式（譬如，先加热 ，逐渐冷却，高压）。聚合体的交错缠绕的排列提出了一个困难的建模问题。但是，在 一些领域中数学模型已经表现得相当可靠，这些模型非常复杂，故而迄今只取得很少几 个结果，它们对聚合体加工可能有用，聚合体的较简单但却更表象的模型是基于连续介 质力学，但附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说，解的稳定性与奇点是重要的 结果，但甚至对于这些较简单的模型仍缺少数学。 复合材料的研究是另一个运用数学研究的领域，如果我们在一种材料颗粒中搀入另一 种材料，得到一种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料，例如汽 车公司将铝与硅碳粒子相混合以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子充电粒子的气 流能提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。 最近十年来，数学家们在泛函分析，PDE及数值分析中发展了新的工具，使他们能够估 计或计算混合物的有效性质。但是新复合物的数目不断增长，同时新的材料也不断被开 发出来，迄今所取得的数学成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对已经研究了好些 年的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例如，当一个均匀的弹性体在承受高压时会破 裂。破裂是从何处又是怎样开始的，它们是怎样扩展的，何时它们分裂成许多裂片，这 些都是有待研究的问题。 生物学中的数学 在生物学和医药科学中也出现了数学模型, 炒得很热的基因方案的一些重要方面需要 统计, 模型识别以及大范围优化法 虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展 , 比如在生理学方面, 拿肾脏作个例子吧, 肾的功能是以保持危险物质( 如盐) 浓度的 理想水平来规范血液的组成。如果一个人摄入了过多的盐，肾就必须排出盐浓度高于血 液中所含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管，称作肾单位，负有从血液中吸收 盐份转入肾中的职责，他们是通过与血管接触的一种传输过程来完成的，在这个过程中 渗透压力过滤起了作用。生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了，但 过程的精确过程却还只是勉强弄明白了。 肾脏的运作过程的一个初级数学模型，虽然简单，却已经帮助说明了尿的形成以及肾 脏做出的抉择，比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿，然而我们仅仅是在了 解这种机理的非常初级的阶段。一个更加完全的模型可能会包含 PDE 、 随机方程、流 体力学、弹性力学、滤波论及控制论，或许还有一些我们尚不具备的工具。心脏力学、 钙（骨）力学、听觉过程、细胞的附着与游离（对生物过程是非常重要的，如发炎与伤 口愈合）以及生物流体（biofluids）是生理学中其他一些学科，在那里现代数学研究已 经取得了一些成就；更多的成就会随后而至。 数学将要取得重要进展的其他领域，包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、细胞 染色、免疫学、反复出现的传染病，还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性 的建模。当然我们决不能忘记还有人类的大脑，自然界最棒的计算机，还有它所具有的 感觉神经元、动作神经元以及感情和梦想！ 多媒体中的数学 大约五十年前建成了第一台计算机，从而开始了一场可从表面上看1760 年到1840年发 生在英国的产业革命相匹比的静 那牡母 命。我们现在亲自证实了这场计算机革命的完 全冲击：在商业、制造业、保健机构及工程业，与计算和通讯技术的进步相配的是数字 信息的萌芽状态，它已为多媒体铺出了一条路，其产品包括了文字图像、电影、录像、 音乐、照像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件，所有这些都由一个单独站址发送 。 多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域，它包含有计算机可视化，图像处理，语 音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。这些会有广泛的应用，应用于制造业 、商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化，还有娱乐业，这只点出了几个而已。多媒 体中的数学工具可能包括随机过程、Marko 场、统计模型、决策论、PDE 、数值分析、 图论、图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些，目前似乎还处在某 种程度的监护下，如人造生命和虚拟世界。 计算机辅助设计正在成为许多工业部门的强大工具：完全在计算机上设计，在键盘上 一敲后产品便在远处的工厂里实现了。这种技术能成为数学家进行研究的工具吗？万维 网（WWW）已经成为多媒体最强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法 的发展，目前仍处在孩提时期。随着多媒体技术的扩展，对于保护私人数据的通讯文本 的需要也与日俱增。发展一个更加安全的密码系统就是数学家们的任务了。为此，他们 必定要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展，当然还有其他一 些领域。 在物质的与生命的科学和在技术的发展中，数学继续起着与日俱增的重要作用。 正如Archimedes 站在叙拉古的海滩上一样，这里我们正站在一个新世纪和一个新千年 的门槛上。我们只能推测，新的理论最终会解决一切向数学挑战的问题，无论它是来自 我们生活的世界还是来自数学本身。在过去的几个民纪里我们获得了惊人的大量知识， 但正如Archimedes 和Newton 一样，我们依然在不断扩展的数学地平线的门口。 (Avner Firedman 美国明尼苏达大学数学及应用研究所所长)

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  CS 组长 楼主 2011-03-31 11:07:37

  http://www.douban.com/group/topic/2925047/ 20世纪的数学

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  cjguilin 2013-12-06 12:57:41

  "数学一定和物理学刚开始的时候一样，是物理科学的助手和工具."（华罗庚）离开物理，纯数学便不知道要干什么也不知道干的是什么。 　　莫里斯·克莱因(Morris Kline, 1908—1992)说：“希腊人未能领悟无穷大、无穷小和无穷步骤，他们对无穷的空间望而生畏. ”([1], p.199)他还说：“1930年以后【西方的数学】的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格【数、形结合几何】直观的根基上去【——重新——】建立【西方的】数学，或者去确定【无穷】这种途径的限度. 在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷（infinity）. 这个概念，即使对于希腊人也已经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它. 从那以后，无穷这个概念一直是争论的题目，并使Hermann Weyl (1885—1955)说道，数学是无穷的科学. ”（[2], pp.323—324）——要做到所谓“重新建立数学”，只有唯一的方法。见：http://bbs.tech110.net/viewthread.php?tid=27833 【】内为引用者另加的注解 参考文献 [1] 〔美〕M.克莱因著. 古今数学思想(第一册)．张理京等译. 上海: 上海科学技术出版社, 1979.　　[2] 〔美〕M.克莱因著. 古今数学思想(第四册). 北京大学数学系数学史翻译组译, 上海:上海科学技术出版社，1981.＊＊＊＊＊＊＊＊＊数与形统一或相结合的几何物理：http://blog.tech110.net/?uid-24359

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  cjguilin 2013-12-06 13:00:52

  "数学一定和物理学刚开始的时候一样，是物理科学的助手和工具."（华罗庚）离开物理，纯数学便不知道要干什么也不知道干的是什么。 　　莫里斯·克莱因(Morris Kline, 1908—1992)说：“希腊人未能领悟无穷大、无穷小和无穷步骤，他们对无穷的空间望而生畏. ”([1], p.199)他还说：“1930年以后【西方的数学】的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格【数、形结合几何】直观的根基上去【——重新——】建立【西方的】数学，或者去确定【无穷】这种途径的限度. 在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷（infinity）. 这个概念，即使对于希腊人也已经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它. 从那以后，无穷这个概念一直是争论的题目，并使Hermann Weyl (1885—1955)说道，数学是无穷的科学. ”（[2], pp.323—324）——要做到所谓“重新建立数学”，只有唯一的方法。见：http://bbs.tech110.net/viewthread.php?tid=27833 【】内为引用者另加的注解 参考文献 [1] 〔美〕M.克莱因著. 古今数学思想(第一册)．张理京等译. 上海: 上海科学技术出版社, 1979.　　[2] 〔美〕M.克莱因著. 古今数学思想(第四册). 北京大学数学系数学史翻译组译, 上海:上海科学技术出版社，1981.＊＊＊＊＊＊＊＊＊数与形统一或相结合的几何物理：http://blog.tech110.net/?uid-24359

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